(1) Soma e produto das raízes

Para a equação quadrática
\( x^2 - 4x + 2 = 0 \)
determine a soma e o produto das suas raízes utilizando as fórmulas de Viète e, em seguida, verifique se ambas as raízes podem ser números naturais.

(2) Construção de uma equação a partir de raízes dadas

As raízes de uma equação quadrática são
\( x_1 = 4 \) e \( x_2 = -2 \).
Construa uma equação quadrática com coeficiente líder 1 que tenha estas raízes e escreva-a na forma padrão.

(3) Raiz desconhecida

Uma raiz da equação
\( x^2 - 9x + 12 = 0 \)
é igual a \( 18 \). Determine a outra raiz e verifique a solução aplicando as fórmulas de Viète.

(4) Determinação de um parâmetro

Para qual valor do parâmetro \( m \) a equação
\( x^2 - (m + 4)x + m\cdot 7 = 0 \)
tem raízes cuja soma é igual a \( 3 \) e cujo produto é igual a \( 1 \)?

(5) Equação quadrática com raízes recíprocas

Determine o valor do número \( p \) de modo que a equação
\( x^2 - 10x + p = 0 \)
tenha raízes que sejam números recíprocos. Depois disso, calcule as próprias raízes.

(6) Equação a partir da soma dos quadrados das raízes

As raízes de uma equação quadrática satisfazem as condições
\( x_1 + x_2 = 14 \) e \( x_1^2 + x_2^2 = 10 \).
Determine o produto das raízes e, em seguida, construa a equação quadrática correspondente com coeficiente líder 1.

(7) Comparação das raízes sem calcular o discriminante

Considere a equação
\( x^2 - 18x + 7 = 0 \).
Usando apenas as fórmulas de Viète, determine se ambas as raízes podem ser positivas e menores que o número \( 16 \).

(8) Raízes inteiras

Determine todos os valores do número \( q \) para os quais a equação
\( x^2 - 11x + q = 0 \)
tem duas raízes inteiras distintas. Escreva todos os possíveis pares de raízes.

(9) Equação cujas raízes estão deslocadas pelo mesmo número

As raízes de certa equação quadrática são os números
\( 5 + -5 \) e \( -2 + -5 \).
Construa uma equação quadrática com coeficiente líder 1 e calcule a soma e o produto das suas raízes.

(10) Expressão com as raízes

Se \( x_1 \) e \( x_2 \) são as raízes da equação
\( x^2 - 14x + 10 = 0 \),
calcule o valor da expressão
\( x_1^3 + x_2^3 \)
sem resolver diretamente a equação, usando apenas as fórmulas de Viète.

(11) Condição sobre os quadrados das soluções

Na equação
\( x^2 - (1 + m)x + m = 0 \)
determine o número real \( m \) sabendo que as suas soluções \( x_1, x_2 \) satisfazem a igualdade
\( x_1^2 + x_2^2 = 10 \).

(12) Determinar os coeficientes

Determine os coeficientes \( p \) e \( q \) da equação quadrática
\( x^2 + px + q = 0 \)
de modo que as suas soluções satisfaçam
\( x_1 = 1 \) e \( x_2 = 4 \).
Aplique as fórmulas de Viète para determinar os coeficientes.

(13) Simplificar a fração

\( \dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - 3x - 10} \).
Fatorize o numerador e o denominador utilizando métodos conhecidos para expressões quadráticas e, em seguida, escreva a forma simplificada final da fração.

(14) Valor de uma expressão com as raízes

Se \( x_1 \) e \( x_2 \) são as soluções da equação
\( x^2 - 5x - 1 = 0 \),
determine o valor da expressão
\( \dfrac{x_1^2}{x_2} + \dfrac{x_2^2}{x_1} \)
utilizando as fórmulas de Viète sem calcular diretamente as soluções da equação.

(15) Determinação de um parâmetro a partir de uma raiz

Na equação
\( x^2 - 6x + q = 0 \)
uma solução é \( x_1 = 13 \), e a outra solução é \( x_2 \).
Determine o valor do parâmetro real \( q \) utilizando as fórmulas de Viète.