(1) Shuma dhe prodhimi i rrënjëve

Për ekuacionin kuadratik
\( x^2 - 6x + 2 = 0 \)
përcaktoni shumën dhe prodhimin e rrënjëve të tij duke përdorur formulat e Vietës dhe më pas verifikoni nëse të dyja rrënjët mund të jenë numra natyrorë.

(2) Ndërtimi i një ekuacioni nga rrënjët e dhëna

Rrënjët e një ekuacioni kuadratik janë
\( x_1 = -5 \) dhe \( x_2 = 2 \).
Ndërtoni një ekuacion kuadratik me koeficient udhëheqës 1 që ka këto rrënjë dhe shkruajeni atë në formën standarde.

(3) Rrënja e panjohur

Një rrënjë e ekuacionit
\( x^2 - 19x + 11 = 0 \)
është e barabartë me \( 16 \). Përcaktoni rrënjën tjetër dhe verifikoni zgjidhjen duke zbatuar formulat e Vietës.

(4) Përcaktimi i një parametri

Për cilin vlerë të parametrit \( m \) ekuacioni
\( x^2 - (m + 2)x + m\cdot 6 = 0 \)
ka rrënjë shuma e të cilave është e barabartë me \( 5 \) dhe prodhimi i të cilave është i barabartë me \( 4 \)?

(5) Ekuacion kuadratik me rrënjë reciproke

Përcaktoni vlerën e numrit \( p \) në mënyrë që ekuacioni
\( x^2 - 8x + p = 0 \)
të ketë rrënjë që janë numra reciprokë. Pas kësaj, llogarisni vetë rrënjët.

(6) Ekuacioni nga shuma e katrorëve të rrënjëve

Rrënjët e një ekuacioni kuadratik plotësojnë kushtet
\( x_1 + x_2 = 12 \) dhe \( x_1^2 + x_2^2 = 5 \).
Përcaktoni prodhimin e rrënjëve dhe më pas ndërtoni ekuacionin kuadratik përkatës me koeficient udhëheqës 1.

(7) Krahasimi i rrënjëve pa llogaritur diskriminantin

Merrni parasysh ekuacionin
\( x^2 - 7x + 6 = 0 \).
Duke përdorur vetëm formulat e Vietës, përcaktoni nëse të dyja rrënjët mund të jenë pozitive dhe më të vogla se numri \( 10 \).

(8) Rrënjë të plota

Përcaktoni të gjitha vlerat e numrit \( q \) për të cilat ekuacioni
\( x^2 - 12x + q = 0 \)
ka dy rrënjë të plota të dallueshme. Shkruani të gjitha çiftet e mundshme të rrënjëve.

(9) Ekuacioni rrënjët e të cilit janë zhvendosur me të njëjtin numër

Rrënjët e një ekuacioni të caktuar kuadratik janë numrat
\( -1 + 1 \) dhe \( 4 + 1 \).
Ndërtoni një ekuacion kuadratik me koeficient udhëheqës 1 dhe llogarisni shumën dhe prodhimin e rrënjëve të tij.

(10) Shprehje me rrënjët

Nëse \( x_1 \) dhe \( x_2 \) jane rrënjët e ekuacionit
\( x^2 - 17x + 11 = 0 \),
llogarisni vlerën e shprehjes
\( x_1^3 + x_2^3 \)
pa zgjidhur drejtpërdrejt ekuacionin, duke përdorur vetëm formulat e Vietës.

(11) Kushti mbi katrorët e zgjidhjeve

Në ekuacionin
\( x^2 - (1 + m)x + m = 0 \)
përcaktoni numrin real \( m \) duke ditur se zgjidhjet e tij \( x_1, x_2 \) plotësojnë barazimin
\( x_1^2 + x_2^2 = 10 \).

(12) Përcaktimi i koeficientëve

Përcaktoni koeficientët \( p \) dhe \( q \) të ekuacionit kuadratik
\( x^2 + px + q = 0 \)
në mënyrë që zgjidhjet e tij të plotësojnë
\( x_1 = 3 \) dhe \( x_2 = 4 \).
Zbatoni formulat e Vietës për të përcaktuar koeficientët.

(13) Thjeshtimi i thyesës

\( \dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - 3x - 10} \).
Faktorizoni numëruesin dhe emëruesin duke përdorur metoda të njohura për shprehjet kuadratike dhe më pas shkruani formën e thjeshtuar përfundimtare të thyesës.

(14) Vlera e një shprehjeje me rrënjët

Nëse \( x_1 \) dhe \( x_2 \) jane zgjidhjet e ekuacionit
\( x^2 - 5x - 1 = 0 \),
përcaktoni vlerën e shprehjes
\( \dfrac{x_1^2}{x_2} + \dfrac{x_2^2}{x_1} \)
duke përdorur formulat e Vietës pa llogaritur drejtpërdrejt zgjidhjet e ekuacionit.

(15) Përcaktimi i një parametri nga një rrënjë

Në ekuacionin
\( x^2 - 6x + q = 0 \)
një zgjidhje është \( x_1 = 7 \), dhe zgjidhja tjetër është \( x_2 \).
Përcaktoni vlerën e parametrit real \( q \) duke përdorur formulat e Vietës.