Mathematische Fragen - Gruppierte und zentrierte Gleichungen

(a) Vereinfachen Sie den Ausdruck: \( \frac{ 7 x^3 - 4 x^2 + 2 x }{x^2 - 3 x + 4 } \div \frac{ 5 x^2 - 4 x }{x^2 - 2 x} \)

(b) Lösen Sie die Gleichung für x: \( \sqrt{ 16 x - 7 } + 4 = 2 - \frac{ 3 }{3}x \)

(c) Bestimmen Sie den Wert von x, der die Gleichung erfüllt: \( \frac{ 4 }{ 5 }x - \frac{ 4 }{ 2 } = \frac{ x - 16 }{ 7 } + \frac{ 4 }{ 2 } \)

(d) Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktion: \( f(x) = \frac{ e^{ 3 x}}{x^2} + \ln( 4 x) - \sqrt{ 5 x + 1} \)

(e) Berechnen Sie das bestimmte Integral: \( \int_{ 4 }^{ 2 } (x^3 + 2x^2) \,dx + \int_{ 16 }^{ 7 } (2x + 1) \,dx \)

(f) Lösen Sie das Gleichungssystem: \( \begin{cases} 3x + 2y - z = 4 \\ x - 3y + 4z = - 2 \\ 2x + y - 2z = 3 \end{cases} \)

(g) Finden Sie die Lösung der Differentialgleichung: \( \frac{ dy }{dx} + 2y = 4x + 3e^{ 4 x} \)

(h) Bestimmen Sie den Wert von x, der die Gleichung erfüllt: \( \tan( 5 x) + \frac{1}{ 4 }\sin( 2 x) = 1 \)

(i) Berechnen Sie das unbestimmte Integral der Funktion: \( \int ( 16 x^3 + 2\sqrt{x} + \frac{1}{x^2}) \,dx \)

(j) Berechnen Sie die zweite Ableitung: \( g(x) = \frac{ 7 x^3 \cos(x)}{\sqrt{ 4 x + 1}} - \ln( 2 x^2 + 3 x) \)