(1) Дано два вектори (\vec{a} = 8\vec{i} - 7\vec{j}) и (\vec{b} = -4\vec{i} + 9\vec{j}). Визначте координати вектора (\vec{c}), якщо виконується умова:

$$ \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} $$

Rješenje zapiši kao uređeni par (x, y).

(2) Обчисліть лінійну комбінацію векторів. Дано вектори (\vec{u} = ( 2, -4 )) та (\vec{v} = ( -3, 5 )). Визначте вектор (\vec{w}) за формулою:

$$ \vec{w} = 3 \cdot \vec{u} - 3 \cdot \vec{v} $$

(3) Обчисліть довжину (модуль) результуючого вектора (\vec{z} = \vec{a} - \vec{b}), якщо координати векторів задані в таблиці:

Napomena: Duljina vektora \(\vec{v}(x, y)\) računa se formulom \( |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \).

(4) Точки (A( 1, 5 )) і (B( 9, 11 )) визначають вектор (\vec{AB}). Точка (C) має координати (( 10, 5 )). Визначте координати вектора (\vec{d}), який є сумою вектора (\vec{AB}) та радіус-вектора точки (C) ((\vec{r_C})).

$$ \vec{d} = \vec{AB} + \vec{r_C} $$

(5) Розв'яжіть векторне рівняння та визначте невідомий вектор (\vec{x}). Дано вектори (\vec{m} = ( 16, -8 )) та (\vec{n} = ( 6, 8 )).

$$ 2\vec{x} + \vec{n} = \vec{m} $$

(6) На тіло діють дві сили, (\vec{F_1}) та (\vec{F_2}), під прямим кутом (уздовж осей x та y). Обчисліть величину (модуль) результуючої сили (\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}).

(7) Дано вектори (\vec{p} = (x, 8)) та (\vec{q} = ( 6, -5 )). Якщо сума цих векторів (\vec{s} = \vec{p} + \vec{q}) дорівнює вектору (( 13, y )), визначте невідомі значення (x) та (y).

(8) Човен перетинає річку. Його швидкість відносно води становить (\vec{v_c} = ( 3.50, 2.50 )) м/с, тоді як річка тече зі швидкістю (\vec{v_r} = ( 2, -1 )) м/с. Яка фактична швидкість човна відносно берега ((\vec{v_u} = \vec{v_c} + \vec{v_r}))?

Rezultat izrazi kao vektor u koordinatnom sustavu.

(9) Перевірте асоціативну властивість додавання векторів. Обчисліть ліву частину рівності для заданих векторів:

\(\vec{a} = (5, 2)\), \(\vec{b} = (-3, 4)\), \(\vec{c} = (7, -1)\)

$$ \vec{S} = (\vec{a} + \vec{b}) - \vec{c} $$

(10) Визначте периметр трикутника, вершинами якого є точки (A(0,0)), (B(6, 0)) і (C(0, 8)), використовуючи додавання та віднімання векторів для визначення довжин сторін.

Uputa: Stranice su vektori \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\) i \(\vec{CA}\). Izračunaj njihove duljine i zbroji ih.