(1) مجموع وحاصل ضرب الجذور

للمعادلة التربيعية
\( x^2 - 12x + 2 = 0 \)
حدد مجموع وحاصل ضرب جذورها باستخدام صيغ فييت، ثم تحقق مما إذا كان يمكن أن يكون كلا الجذرين عددين طبيعيين.

(2) بناء معادلة من جذور معطاة

جذور معادلة تربيعية هي
\( x_1 = 0 \) و \( x_2 = -5 \).
قم ببناء معادلة تربيعية معاملها الرئيسي 1 لها هذه الجذور واكتبها بالصورة القياسية.

(3) جذر مجهول

أحد جذري المعادلة
\( x^2 - 16x + 8 = 0 \)
يساوي \( 12 \). حدد الجذر الآخر وتحقق من الحل بتطبيق صيغ فييت.

(4) تحديد معامل

لأي قيمة للمعامل \( m \) تكون للمعادلة
\( x^2 - (m + 2)x + m\cdot 6 = 0 \)
جذور مجموعها يساوي \( 4 \) وحاصل ضربها يساوي \( 9 \)?

(5) معادلة تربيعية ذات جذور مقلوبة

حدد قيمة العدد \( p \) بحيث تكون للمعادلة
\( x^2 - 3x + p = 0 \)
جذور أعداد مقلوبة لبعضها البعض. بعد ذلك، احسب الجذور نفسها.

(6) معادلة من مجموع مربعات الجذور

جذور معادلة تربيعية تحقق الشروط
\( x_1 + x_2 = 8 \) و \( x_1^2 + x_2^2 = 13 \).
حدد حاصل ضرب الجذور، ثم قم ببناء المعادلة التربيعية المقابلة ذات المعامل الرئيسي 1.

(7) مقارنة الجذور دون حساب المميز

ضع في اعتبارك المعادلة
\( x^2 - 15x + 7 = 0 \).
باستخدام صيغ فييت فقط، حدد ما إذا كان يمكن أن يكون كلا الجذرين موجبين وأقل من العدد \( 16 \).

(8) جذور صحيحة

حدد جميع قيم العدد \( q \) التي تجعل للمعادلة
\( x^2 - 12x + q = 0 \)
جذرين صحيحين متميزين. اكتب جميع أزواج الجذور الممكنة.

(9) معادلة جذورها مزاحة بنفس المقدار

جذور معادلة تربيعية معينة هي العددين
\( -2 + 5 \) و \( 0 + 5 \).
قم ببناء معادلة تربيعية معاملها الرئيسي 1 واحسب مجموع وحاصل ضرب جذورها.

(10) تعبير يحتوي على الجذور

إذا كان \( x_1 \) و \( x_2 \) هما جذرا المعادلة
\( x^2 - 8x + 11 = 0 \),
فاحسب قيمة التعبير
\( x_1^3 + x_2^3 \)
دون حل المعادلة مباشرة، باستخدام صيغ فييت فقط.

(11) شرط يتعلق بمربعات الحلول

في المعادلة
\( x^2 - (1 + m)x + m = 0 \)
حدد العدد الحقيقي \( m \) مع العلم أن حلّيها \( x_1, x_2 \) يحققان المساواة
\( x_1^2 + x_2^2 = 10 \).

(12) تحديد المعاملات

حدد المعاملات \( p \) و \( q \) للمعادلة التربيعية
\( x^2 + px + q = 0 \)
بحيث تحقق حلولها
\( x_1 = 3 \) و \( x_2 = 2 \).
طبق صيغ فييت لتحديد المعاملات.

(13) تبسيط الكسر

\( \dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - 3x - 10} \).
حلل البسط والمقام إلى عوامل باستخدام الطرق المعروفة للتعبيرات التربيعية، ثم اكتب الصورة المبسطة النهائية للكسر.

(14) قيمة تعبير يحتوي على الجذور

إذا كان \( x_1 \) و \( x_2 \) هما حلا المعادلة
\( x^2 - 5x - 1 = 0 \),
فحدد قيمة التعبير
\( \dfrac{x_1^2}{x_2} + \dfrac{x_2^2}{x_1} \)
باستخدام صيغ فييت دون حساب حلول المعادلة مباشرة.

(15) تحديد معامل من أحد الجذور

في المعادلة
\( x^2 - 13x + q = 0 \)
أحد الحلين هو \( x_1 = 7 \), والحل الآخر هو \( x_2 \).
حدد قيمة المعامل الحقيقي \( q \) باستخدام صيغ فييت.