(1) Даны два вектора (\vec{a} = 5\vec{i} - 4\vec{j}) и (\vec{b} = -3\vec{i} + 5\vec{j}). Определите координаты вектора (\vec{c}), если выполняется условие:

$$ \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} $$

Rješenje zapiši kao uređeni par (x, y).

(2) Вычислите линейную комбинацию векторов. Даны векторы (\vec{u} = ( 6, -2 )) и (\vec{v} = ( -2, 3 )). Определите вектор (\vec{w}) по формуле:

$$ \vec{w} = 3 \cdot \vec{u} - 3 \cdot \vec{v} $$

(3) Вычислите длину (модуль) результирующего вектора (\vec{z} = \vec{a} - \vec{b}), если координаты векторов заданы в таблице:

Napomena: Duljina vektora \(\vec{v}(x, y)\) računa se formulom \( |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \).

(4) Точки (A( 5, 6 )) и (B( 8, 11 )) определяют вектор (\vec{AB}). Точка (C) имеет координаты (( 8, 3 )). Определите координаты вектора (\vec{d}), который является суммой вектора (\vec{AB}) и радиус-вектора точки (C) ((\vec{r_C})).

$$ \vec{d} = \vec{AB} + \vec{r_C} $$

(5) Решите векторное уравнение и определите неизвестный вектор (\vec{x}). Даны векторы (\vec{m} = ( 14, -12 )) и (\vec{n} = ( 6, 12 )).

$$ 2\vec{x} + \vec{n} = \vec{m} $$

(6) На тело действуют две силы, (\vec{F_1}) и (\vec{F_2}), под прямым углом (вдоль осей x и y). Вычислите модуль (величину) результирующей силы (\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}).

(7) Даны векторы (\vec{p} = (x, 8)) и (\vec{q} = ( 3, -2 )). Если сумма этих векторов (\vec{s} = \vec{p} + \vec{q}) равна вектору (( 13, y )), определите неизвестные значения (x) и (y).

(8) Лодка пересекает реку. Её скорость относительно воды составляет (\vec{v_c} = ( 3.50, 4 )) м/с, в то время как река течет со скоростью (\vec{v_r} = ( 3, -0.50 )) м/с. Какова фактическая скорость лодки относительно берега ((\vec{v_u} = \vec{v_c} + \vec{v_r}))?

Rezultat izrazi kao vektor u koordinatnom sustavu.

(9) Проверьте ассоциативное свойство сложения векторов. Вычислите левую часть равенства для заданных векторов:

\(\vec{a} = (1, 2)\), \(\vec{b} = (-3, 2)\), \(\vec{c} = (5, -1)\)

$$ \vec{S} = (\vec{a} + \vec{b}) - \vec{c} $$

(10) Определите периметр треугольника, вершинами которого являются точки (A(0,0)), (B(3, 0)) и (C(0, 12)), используя сложение и вычитание векторов для определения длин сторон.

Uputa: Stranice su vektori \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\) i \(\vec{CA}\). Izračunaj njihove duljine i zbroji ih.