(1) Suma de matrices y matriz opuesta

Se dan las matrices
\( A=\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}. \)
a) Calcula la matriz ( A+B ).
b) Determina la matriz opuesta de la matriz ( A ) y luego calcula ( A+(-A) ). Explica el resultado obtenido.

(2) Resta de matrices y verificación de propiedades

Se dan las matrices
\( C=\begin{pmatrix} -5 & -3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}. \)
a) Calcula la matriz ( C-D ).
b) Verifica si se cumple la igualdad ( C-D=-(D-C) ).

(3) Multiplicación de una matriz por un escalar y distributividad

Se da la matriz
\( E=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \)
y los escalares ( k=1 ) y ( m=-2 ).
a) Calcula la matriz ( kE ).
b) Calcula ( (k+m)E ) y compáralo con ( kE+mE ).

(4) Producto de matrices y no conmutatividad

Se dan las matrices
\( F=\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad G=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}. \)
a) Calcula el producto ( FG ).
b) Calcula el producto ( GF ).
c) Compara los resultados y concluye si la multiplicación de matrices es conmutativa en este caso.

(5) Transposición y propiedades de la transposición

Se da la matriz
\( H=\begin{pmatrix} 6 & 4 & 5 \\ 3 & 8 & 9 \end{pmatrix}. \)
a) Determina la matriz transpuesta ( H^T ).
b) Calcula ( (H^T)^T ) y compárala con la matriz ( H ).

(6) Distributividad de la multiplicación de matrices

Se dan las matrices
\( A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}, \)
\( C=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}. \)
a) Calcula ( A(B+C) ).
b) Calcula ( AB+AC ) y compara los resultados.

(7) Matriz identidad y potencias

Se da la matriz
\( K=\begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \)
y la matriz identidad ( I ) de orden ( n=2 ).
a) Calcula ( KI ) e ( IK ).
b) Calcula ( K^2 ) y compáralo con ( KK ).

(8) Combinación lineal de matrices

Se dan las matrices
\( M=\begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad N=\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}. \)
Para los escalares ( a=3 ) y ( b=5 ):
a) Calcula ( aM-bN ).
b) Determina la matriz ( X ) tal que se cumpla ( X+aN=bM ).

(9) Cuadrado de una matriz y diferencia de cuadrados

Se da la matriz
\( L=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}. \)
a) Calcula ( L^2 ).
b) Calcula ( (L-I)(L+I) ), donde ( I ) es la matriz identidad de orden 2.

(10) Asociatividad de la multiplicación de matrices

Se dan las matrices
\( P=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad Q=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}, \quad R=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}. \)
a) Calcula ( (PQ)R ).
b) Calcula ( P(QR) ).
c) Compara las matrices obtenidas y concluye si se cumple la asociatividad de la multiplicación en este ejemplo.