❤️
Sličnosti i Talesovi teoremi
Slične figure

Zadaci Talesov

(1) U trokutu ABC paralelna je pravac s osnovicom BC koji siječe katete AB i AC. Zna se da je AB = 29 cm, točka D na AB dijeli je u omjeru AD:DB = 2:3, a dužina odsječka DE (paralelnog s BC) iznosi 28 cm. Kolika je dužina osnovice BC?

(2) Dva trokuta su slična. Omjer njihovih odgovarajućih stranica je 8: 9. Ako je površina manjeg trokuta 5 cm², kolika je površina većeg trokuta? Koristi Talesov teorem za provjeru proporcionalnosti.

(3) Na pravcu su točke A, B, C, D takve da je AB || CD. Transverzala ih presijeca tako da je AB = 45 cm, CD = 35 cm, a udaljenost između paralela je 50 cm. Kolika je udaljenost od točke A do presjeka s drugom transverzalom ako je omjer segmenata 3:1?

(4) Boris crta sličan lik pravokutniku čije su stranice 22 cm i 24 cm. Omjer sličnosti je 3:6. Koliki su stranice njezinog novog lika? Primijeni Talesov teorem na dijagonale.

(5) U trapezu ABCD (AB || CD) dijagonale se sijeku u točki O. Omjer AO:OC = 40:50. Ako je AB = 40 cm, kolika je dužina CD? Riješi pomoću Talesovog teorema o proporcionalnim segmentima.

(6) Dva slična trokuta imaju omjer odgovarajućih visina 5:2. Koliki je omjer njihovih površina? Ako je opseg manjeg trokuta 4 cm, izračunaj opseg većeg.

(7) Boris postavlja stup visine 31 metara. U podne sjena stupa iznosi 32 metara. U isto vrijeme sjena drveta iznosi 35 metara. Kolika je visina drveta? Koristi sličnost trokuta i Talesov teorem.

(8) Paralelne crte sijeku stranice trokuta ABC. Prva paralelna s BC presijeca AB u omjeru 7:5, a druga u omjeru 6:1. Odredi odnos duljina odsječaka na transverzalama prema Talesovom teoremu.

(9) Slični poligoni imaju omjer sličnosti 4. Stranica manjeg poligona je 45 cm. Kolika je odgovarajuća stranica većeg poligona? Ako je površina manjeg 45 cm², kolika je površina većeg?

(10) U trokutu PQR povučena je crta paralelna s QR koja presijeca PQ i PR. Omjer PQ prema odsječku na paralelnoj je 4:8. Ako je QR = 24 cm, odredi duljinu paralelne crte koristeći Talesov teorem o proporcionalnim segmentima.

Upute
k A B C O r r r b a promjer d = 2r α α β β

Talesov Poučak

Talesov poučak o obodnom kutu nad promjerom jedan je od najstarijih i najvažnijih poučaka u geometriji.

Poučak: Ako je trokut ABC upisan u kružnicu tako da je njegova najdulja stranica AB ujedno i promjer te kružnice, tada je kut nasuprot toj stranici (kut kod vrha C) uvijek pravi kut (90°).

Skica dokaza

Tvrdnja se jednostavno dokazuje rastavljanjem glavnog trokuta na dva manja dijela pomoću polumjera:

  1. Povučemo polumjer OC od središta kružnice do vrha C.
  2. Time dobivamo dva trokuta: ΔAOC i ΔBOC.
  3. Budući da su dužine OA, OB i OC ujedno polumjeri kružnice (r), oba novonastala trokuta su jednakokračna.
  4. Kod jednakokračnih trokuta, kutovi uz osnovicu su jednaki:
    • U trokutu ΔAOC kutovi su α i α.
    • U trokutu ΔBOC kutovi su β i β.
  5. Zbroj svih kutova u velikom trokutu ABC iznosi 180°:
    α + (α + β) + β = 180°
    2α + 2β = 180°
  6. Podijelimo li cijelu jednadžbu s 2, dobivamo preostali kut kod vrha C:
    α + β = 90°

Podijelite vježbu: