(1) Сума і добуток коренів

Для квадратного рівняння
\( x^2 - 8x + 9 = 0 \)
визначте суму і добуток його коренів, використовуючи формули Вієта, а потім перевірте, чи можуть обидва корені бути натуральними числами.

(2) Побудова рівняння за заданими коренями

Корені квадратного рівняння дорівнюють
\( x_1 = 1 \) і \( x_2 = -5 \).
Складіть квадратне рівняння зі старшим коефіцієнтом 1, яке має ці корені, і запишіть його у стандартному вигляді.

(3) Невідомий корінь

Один із коренів рівняння
\( x^2 - 16x + 18 = 0 \)
дорівнює \( 14 \). Визначте інший корінь і перевірте розв'язок, застосувавши формули Вієта.

(4) Визначення параметра

При якому значенні параметра \( m \) рівняння
\( x^2 - (m + 3)x + m\cdot 5 = 0 \)
має корені, сума яких дорівнює \( 1 \) а добуток дорівнює \( 9 \)?

(5) Квадратне рівняння з оберненими коренями

Визначте значення числа \( p \) так, щоб рівняння
\( x^2 - 4x + p = 0 \)
мало корені, які є взаємно оберненими числами. Після цього обчисліть самі корені.

(6) Рівняння за сумою квадратів коренів

Корені квадратного рівняння задовольняють умови
\( x_1 + x_2 = 14 \) і \( x_1^2 + x_2^2 = 16 \).
Визначте добуток коренів, а потім складіть відповідне квадратне рівняння зі старшим коефіцієнтом 1.

(7) Порівняння коренів без обчислення дискримінанта

Розгляньте рівняння
\( x^2 - 17x + 7 = 0 \).
Використовуючи лише формули Вієта, визначте, чи можуть обидва корені бути додатними і меншими за число \( 8 \).

(8) Цілі корені

Визначте всі значення числа \( q \) для яких рівняння
\( x^2 - 8x + q = 0 \)
має два різні цілі корені. Запишіть усі можливі пари коренів.

(9) Рівняння, корені якого зміщені на одне й те саме число

Корені певного квадратного рівняння — це числа
\( 1 + 0 \) і \( -2 + 0 \).
Складіть квадратне рівняння зі старшим коефіцієнтом 1 та обчисліть суму і добуток його коренів.

(10) Вираз із коренями

Якщо \( x_1 \) і \( x_2 \) є коренями рівняння
\( x^2 - 14x + 13 = 0 \),
обчисліть значення виразу
\( x_1^3 + x_2^3 \)
без безпосереднього розв'язання рівняння, використовуючи лише формули Вієта.

(11) Умова щодо квадратів розв'язків

У рівнянні
\( x^2 - (1 + m)x + m = 0 \)
визначте дійсне число \( m \) знаючи, що його розв'язки \( x_1, x_2 \) задовольняють рівність
\( x_1^2 + x_2^2 = 10 \).

(12) Визначення коефіцієнтів

Визначте коефіцієнти \( p \) і \( q \) квадратного рівняння
\( x^2 + px + q = 0 \)
так, щоб його розв'язки задовольняли умови
\( x_1 = 1 \) і \( x_2 = 2 \).
Застосуйте формули Вієта для визначення коефіцієнтів.

(13) Спрощення дробу

\( \dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - 3x - 10} \).
Розкладіть чисельник і знаменник на множники, використовуючи відомі методи для квадратних виразів, а потім запишіть остаточний спрощений вигляд дробу.

(14) Значення виразу з коренями

Якщо \( x_1 \) і \( x_2 \) є розв'язками рівняння
\( x^2 - 3x - 1 = 0 \),
визначте значення виразу
\( \dfrac{x_1^2}{x_2} + \dfrac{x_2^2}{x_1} \)
використовуючи формули Вієта, не обчислюючи безпосередньо розв'язки рівняння.

(15) Визначення параметра за одним коренем

У рівнянні
\( x^2 - 10x + q = 0 \)
один розв'язок дорівнює \( x_1 = 6 \), а інший розв'язок дорівнює \( x_2 \).
Визначте значення дійсного параметра \( q \) використовуючи формули Вієта.