(1) Частинні похідні полінома

Визначте частинні похідні функції
\( f(x,y)= 8x^2y + 7xy^2 + 3x + 2y + 9 \).
Обчисліть \( \frac{\partial f}{\partial x} \) та \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(2) Частинні похідні в точці

Дано функцію
\( f(x,y)= 5x^2 + 2xy + 0y^2 + -2x + -4y \).
Обчисліть частинні похідні першого порядку та їх значення в точці \( (x,y)=(2, 0) \).

(3) Частинні похідні функції третього ступеня

Визначте частинні похідні функції
\( f(x,y)= 1x^3 + 3x^2y + 5xy^2 + 6y^3 + 7xy \).
Обчисліть \( \frac{\partial f}{\partial x} \) та \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(4) Частинна похідна раціональної функції

Дано функцію
\( f(x,y)= \frac{1x^2 + 8y}{6x + 2y} \).
Визначте частинну похідну \( \frac{\partial f}{\partial x} \).

(5) Частинні похідні степеневої функції

Визначте частинні похідні функції
\( f(x,y)= 4x^{3}y^{6} + 5xy + 1y \).
Обчисліть \( \frac{\partial f}{\partial x} \) та \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(6) Частинні похідні показникової функції

Дано функцію
\( f(x,y)= e^{4x + 2y} + 5xy + 1x \).
Визначте частинні похідні першого порядку.

(7) Частинні похідні тригонометричної функції

Визначте частинні похідні функції
\( f(x,y)= 1\sin(xy) + 3x\cos(y) + 5y + 6 \).
Обчисліть \( \frac{\partial f}{\partial x} \) та \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(8) Частинні похідні логарифмічної функції

Дано функцію
\( f(x,y)= \ln(5x + 9y) + 8xy + 7x \).
Визначте частинні похідні першого порядку.

(9) Частинні похідні другого порядку

Дано функцію
\( f(x,y)= 2x^2y + 5xy^2 + 6x + 3y \).
Обчисліть другі частинні похідні \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \), \( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \) та \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \).

(10) Частинна похідна складеної функції

Дано функцію
\( f(x,y)= ( 2x + 3y )^{5} + 1xy \).
Визначте частинні похідні \( \frac{\partial f}{\partial x} \) та \( \frac{\partial f}{\partial y} \).