(1) Частинні похідні полінома

Визначте частинні похідні функції
\( f(x,y)= 5x^2y + 7xy^2 + 8x + 4y + 9 \).
Обчисліть \( \frac{\partial f}{\partial x} \) та \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(2) Частинні похідні в точці

Дано функцію
\( f(x,y)= -4x^2 + 2xy + -1y^2 + -5x + 3y \).
Обчисліть частинні похідні першого порядку та їх значення в точці \( (x,y)=(2, -1) \).

(3) Частинні похідні функції третього ступеня

Визначте частинні похідні функції
\( f(x,y)= 3x^3 + 2x^2y + 7xy^2 + 6y^3 + 4xy \).
Обчисліть \( \frac{\partial f}{\partial x} \) та \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(4) Частинна похідна раціональної функції

Дано функцію
\( f(x,y)= \frac{3x^2 + 6y}{2x + 5y} \).
Визначте частинну похідну \( \frac{\partial f}{\partial x} \).

(5) Частинні похідні степеневої функції

Визначте частинні похідні функції
\( f(x,y)= 5x^{4}y^{3} + 6xy + 1y \).
Обчисліть \( \frac{\partial f}{\partial x} \) та \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(6) Частинні похідні показникової функції

Дано функцію
\( f(x,y)= e^{3x + 5y} + 1xy + 2x \).
Визначте частинні похідні першого порядку.

(7) Частинні похідні тригонометричної функції

Визначте частинні похідні функції
\( f(x,y)= 2\sin(xy) + 7x\cos(y) + 4y + 3 \).
Обчисліть \( \frac{\partial f}{\partial x} \) та \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(8) Частинні похідні логарифмічної функції

Дано функцію
\( f(x,y)= \ln(1x + 8y) + 6xy + 4x \).
Визначте частинні похідні першого порядку.

(9) Частинні похідні другого порядку

Дано функцію
\( f(x,y)= 4x^2y + 2xy^2 + 6x + 5y \).
Обчисліть другі частинні похідні \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \), \( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \) та \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \).

(10) Частинна похідна складеної функції

Дано функцію
\( f(x,y)= ( 4x + 3y )^{5} + 2xy \).
Визначте частинні похідні \( \frac{\partial f}{\partial x} \) та \( \frac{\partial f}{\partial y} \).