(1) Частинні похідні полінома

Визначте частинні похідні функції
\( f(x,y)= 1x^2y + 3xy^2 + 6x + 9y + 7 \).
Обчисліть \( \frac{\partial f}{\partial x} \) та \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(2) Частинні похідні в точці

Дано функцію
\( f(x,y)= -5x^2 + -2xy + 4y^2 + 1x + 5y \).
Обчисліть частинні похідні першого порядку та їх значення в точці \( (x,y)=(-2, 4) \).

(3) Частинні похідні функції третього ступеня

Визначте частинні похідні функції
\( f(x,y)= 1x^3 + 5x^2y + 3xy^2 + 7y^3 + 6xy \).
Обчисліть \( \frac{\partial f}{\partial x} \) та \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(4) Частинна похідна раціональної функції

Дано функцію
\( f(x,y)= \frac{1x^2 + 3y}{7x + 2y} \).
Визначте частинну похідну \( \frac{\partial f}{\partial x} \).

(5) Частинні похідні степеневої функції

Визначте частинні похідні функції
\( f(x,y)= 6x^{2}y^{5} + 1xy + 3y \).
Обчисліть \( \frac{\partial f}{\partial x} \) та \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(6) Частинні похідні показникової функції

Дано функцію
\( f(x,y)= e^{1x + 4y} + 3xy + 5x \).
Визначте частинні похідні першого порядку.

(7) Частинні похідні тригонометричної функції

Визначте частинні похідні функції
\( f(x,y)= 1\sin(xy) + 2x\cos(y) + 4y + 3 \).
Обчисліть \( \frac{\partial f}{\partial x} \) та \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(8) Частинні похідні логарифмічної функції

Дано функцію
\( f(x,y)= \ln(8x + 2y) + 1xy + 9x \).
Визначте частинні похідні першого порядку.

(9) Частинні похідні другого порядку

Дано функцію
\( f(x,y)= 3x^2y + 1xy^2 + 5x + 2y \).
Обчисліть другі частинні похідні \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \), \( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \) та \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \).

(10) Частинна похідна складеної функції

Дано функцію
\( f(x,y)= ( 5x + 3y )^{1} + 4xy \).
Визначте частинні похідні \( \frac{\partial f}{\partial x} \) та \( \frac{\partial f}{\partial y} \).