(1) Equação logarítmica com condição

Resolve a equação sob a condição de existência
\( \log_{3}(x - 4) + \log_{3}(x - 2) = 6 \).
Escreve a solução como um conjunto de números reais.

(2) Equação exponencial com parâmetros

Resolve a equação
\( 5^{x+3} = 4 \cdot 5^{2x} \).
Exprime o resultado na forma mais simples.

(3) Função inversa

É dada a função
\( f(x) = \log_{3}(x - 2) \).
Determina a função inversa e o seu domínio.

(4) Equação com mudança de base

Resolve a equação utilizando a fórmula da mudança de base
\( \log_{3} x = \frac{\log x}{\log 6} + 2 \).
Escreve a solução na forma exponencial.

(5) Inequação exponencial com deslocamento

Resolve a inequação
\( 5^{x - 3} \le 2^{x + 4} \).
Apresenta a solução sob a forma de intervalo.

(6) Combinação de logaritmos

Simplifica a expressão
\( \frac{\log_{5}(x^{2}) + \log_{5}(x^{4})}{\log_{5} x} \).
Escreve o resultado sem logaritmos sempre que possível.

(7) Modelo de crescimento e logaritmos

O valor do investimento é descrito pela função
\( A(t) = 2000 \cdot e^{2500 t} \).
Determina o tempo em que o valor atinge \( 3000 \).

(8) Interseção de funções

Determina os pontos de interseção das funções
\( f(x) = 4^x \) i \( g(x) = \log_{4}(x + 3) \).
Encontra a solução analiticamente ou por estimativa.

(9) Equação logarítmica complexa

Resolve a equação
\( \large \log_{5}(x^2 - 2x + 3) = 4 \).
Tem em conta as condições de existência.

(10) Transformação de gráfico

É dada a função
\( f(x) = 4^x \).
Determina a equação da função resultante da reflexão em relação ao eixo \( y \), seguida de um deslocamento de \( 3 \) para a direita e \( 2 \) para baixo.

(11) Equação com dupla substituição

Resolve a equação
\( 2^{2x} - ( 4 + 5 ) \cdot 2^x + 4 \cdot 5 = 0 \).
Introduz a substituição \( t = 2^x \), resolve a equação quadrática em ordem a \( t \), e regressa depois à incógnita \( x \).

(12) Equação logarítmica com expressão racional

Resolve a equação com exame completo das condições de existência
\( \log_{6} \left( \frac{x - 3}{x - 2} \right) = \log_{6} ( 4 ) - \log_{6} ( 5 ) \).
Escreve a solução como um conjunto de números reais e indica separadamente os valores excluídos.

(13) Equação exponencial paramétrica

Determina todos os valores reais do parâmetro \( m \) para os quais a equação tem exatamente uma solução real
\( 4^x + 2 \cdot 4^{-x} = m \).
Em seguida, para os valores obtidos do parâmetro, determina a respetiva solução da equação.

(14) Sistema de relações logarítmicas e exponenciais

Resolve o sistema de equações
\( y = 5^x \), \( \log_{5}(y) + x = 4 \), \( y > 0 \).
Escreve a solução como um par ordenado \( (x,y) \).

(15) Problema de demonstração com função

É dada a função
\( f(x) = \log_{5}(x + 4) - \log_{5}(3x - 2) \).
Determina o domínio da função, em seguida a equação \( f(x) = 0 \), e investiga para que valores de \( x \) se verifica \( f(x) > 0 \).
Escreve a conclusão como uma união de intervalos.