(1) معادلة لوغاريتمية مع الشرط

حل المعادلة مع مراعاة شرط التعريف
\( \log_{4}(x - 2) + \log_{4}(x - 6) = 3 \).
اكتب الحل كمجموعة من الأعداد الحقيقية.

(2) معادلة أسية مع بارامترات

حل المعادلة
\( 5^{x+4} = 2 \cdot 5^{2x} \).
عبر عن النتيجة في أبسط صورة.

(3) الدالة العكسية

الدالة معطاة
\( f(x) = \log_{3}(x - 5) \).
حدد الدالة العكسية ومجالها.

(4) معادلة مع تغيير الأساس

حل المعادلة باستخدام صيغة تغيير الأساس
\( \log_{5} x = \frac{\log x}{\log 6} + 4 \).
اكتب الحل في الصورة الأسية.

(5) متباينة أسية مع إزاحة

حل المتباينة
\( 3^{x - 4} \le 2^{x + 5} \).
اعرض الحل كفترة.

(6) دمج اللوغاريتمات

بسط التعبير
\( \frac{\log_{2}(x^{4}) + \log_{2}(x^{5})}{\log_{2} x} \).
اكتب النتيجة بدون لوغاريتمات حيثما أمكن.

(7) نموذج النمو واللوغاريتمات

يتم وصف قيمة الاستثمار بواسطة الدالة
\( A(t) = 2000 \cdot e^{3000 t} \).
حدد الوقت الذي تصل فيه القيمة إلى \( 5000 \).

(8) تقاطع الدوال

حدد نقاط تقاطع الدوال
\( f(x) = 4^x \) i \( g(x) = \log_{4}(x + 2) \).
أوجد الحل تحليلياً أو بالتقدير.

(9) معادلة لوغاريتمية معقدة

حل المعادلة
\( \large \log_{3}(x^2 - 4x + 2) = 5 \).
خذ في الاعتبار شروط التعريف.

(10) تحويل الرسم البياني

الدالة معطاة
\( f(x) = 4^x \).
حدد معادلة الدالة الناتجة عن الانعكاس حول محور \( y \)، ثم الإزاحة بمقدار \( 5 \) لليمين و \( 3 \) للأسفل.

(11) معادلة بالتعويض المزدوج

حل المعادلة
\( 3^{2x} - ( 5 + 4 ) \cdot 3^x + 5 \cdot 4 = 0 \).
أدخل التعويض \( t = 3^x \)، حل المعادلة التربيعية بالنسبة لـ \( t \)، ثم عد إلى المجهول \( x \).

(12) معادلة لوغاريتمية مع تعبير نسبي

حل المعادلة مع فحص كامل لشروط التعريف
\( \log_{3} \left( \frac{x - 2}{x - 6} \right) = \log_{3} ( 5 ) - \log_{3} ( 4 ) \).
اكتب الحل كمجموعة من الأعداد الحقيقية واذكر القيم المستبعدة بشكل منفصل.

(13) معادلة أسية بارامترية

حدد جميع القيم الحقيقية للبارامتر \( m \) التي يكون للمعادلة عندها حل حقيقي واحد بالضبط
\( 3^x + 4 \cdot 3^{-x} = m \).
بعد ذلك، حدد الحل المقابل للمعادلة للقيم التي تم الحصول عليها للبارامتر.

(14) نظام من العلاقات اللوغاريتمية والأسية

حل نظام المعادلات
\( y = 2^x \), \( \log_{2}(y) + x = 3 \), \( y > 0 \).
اكتب الحل كزوج مرتب \( (x,y) \).

(15) مسألة برهان ودوال

الدالة معطاة
\( f(x) = \log_{5}(x + 2) - \log_{5}(3x - 4) \).
حدد مجال الدالة، ثم المعادلة \( f(x) = 0 \)، واختبر قيم \( x \) التي تحقق \( f(x) > 0 \).
اكتب الاستنتاج كاتحاد فترات.