$$ \textbf{Frage:} $$ Berechnen Sie das folgende $$ \int_{0}^{3} \int_{0}^{4} (x^2 + y^2) \, dy \, dx $$ $$ \textbf{Lösung:} $$ Um dieses Problem zu lösen, verwenden wir die Integrationsregel für das Doppelintegral, die besagt, dass zuerst die innere Funktion bezüglich der inneren Variablen und dann das Ergebnis bezüglich der äußeren Variablen integriert werden soll. Wir integrieren zuerst über die Variable y, dann über die Variable x. $$ \int_{0}^{3} \int_{0}^{4} (x^2 + y^2) \, dy \, dx $$ Wir integrieren über y und nehmen x als Konstante: $$ \int_{0}^{3} \left[ x^2y + \frac{1}{3}y^3 \right]_{0}^{4} \, dx $$ Nun integrieren wir über x: $$ \left[ x^2y + \frac{1}{3}y^3 \right]_{0}^{4} = \left[ 4x^2 + \frac{1}{3}y^3 \right ]_{0}^{4} $$ Wir setzen die Integrationsgrenzen für x ein $$ \left[ x^2y + \frac{1}{3}y^3 \right]_{0}^{4} = \left[ 4x^2 + \frac{1}{3}y^3 \right]_{0}^{4} $$ Jetzt berechnen wir den Wert: $$ 4(3)^2 + \frac{1}{3}(4)^3 = 4 \cdot 9 + \frac{64}{3} = 36 + \frac{64}{3} = \frac{144 }{3} + \frac{64}{3} = \frac{208}{3} $$ Das Ergebnis des Doppelintegrals ist also: $$ \int_{0}^{3} \int_{0}^{4} (x^2 + y^2) \, dy \, dx = \frac{208}{3} $$ Wenn wir möchten, dass die Lösung 25 ist, können wir die Integrationsgrenzen oder die Funktion, die wir integrieren, ändern, um dieses Ergebnis zu erhalten.