(1) Summe und Produkt der Wurzeln

Für die quadratische Gleichung
\( x^2 - 11x + 12 = 0 \)
bestimmen Sie die Summe und das Produkt ihrer Wurzeln mithilfe der Vieta-Formeln und überprüfen Sie anschließend, ob beide Wurzeln natürliche Zahlen sein können.

(2) Aufstellen einer Gleichung aus gegebenen Wurzeln

Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung sind
\( x_1 = -7 \) und \( x_2 = 7 \).
Stellen Sie eine quadratische Gleichung mit dem Leitkoeffizienten 1 auf, die diese Wurzeln hat, und schreiben Sie sie in Standardform.

(3) Unbekannte Wurzel

Eine Wurzel der Gleichung
\( x^2 - 14x + 6 = 0 \)
ist gleich \( 12 \). Bestimmen Sie die andere Wurzel und überprüfen Sie die Lösung durch Anwendung der Vieta-Formeln.

(4) Bestimmung eines Parameters

Für welchen Wert des Parameters \( m \) hat die Gleichung
\( x^2 - (m + 6)x + m\cdot 4 = 0 \)
Wurzeln, deren Summe gleich \( 1 \) und deren Produkt gleich \( 5 \)?

(5) Quadratische Gleichung mit reziproken Wurzeln

Bestimmen Sie den Wert der Zahl \( p \) so, dass die Gleichung
\( x^2 - 4x + p = 0 \)
Wurzeln hat, die zueinander reziprok sind. Berechnen Sie danach die Wurzeln selbst.

(6) Gleichung aus der Summe der Quadrate der Wurzeln

Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung erfüllen die Bedingungen
\( x_1 + x_2 = 8 \) und \( x_1^2 + x_2^2 = 10 \).
Bestimmen Sie das Produkt der Wurzeln und stellen Sie anschließend die entsprechende quadratische Gleichung mit dem Leitkoeffizienten 1 auf.

(7) Vergleich der Wurzeln ohne Berechnung der Diskriminante

Betrachten Sie die Gleichung
\( x^2 - 15x + 16 = 0 \).
Bestimmen Sie unter ausschließlicher Verwendung der Vieta-Formeln, ob beide Wurzeln positiv und kleiner als die Zahl \( 10 \).

(8) Ganzzahlige Wurzeln

Bestimmen Sie alle Werte der Zahl \( q \) für die die Gleichung
\( x^2 - 14x + q = 0 \)
zwei verschiedene ganzzahlige Wurzeln hat. Schreiben Sie alle möglichen Paare von Wurzeln auf.

(9) Gleichung, deren Wurzeln um dieselbe Zahl verschoben sind

Die Wurzeln einer bestimmten quadratischen Gleichung sind die Zahlen
\( 0 + -5 \) und \( -1 + -5 \).
Stellen Sie eine quadratische Gleichung mit dem Leitkoeffizienten 1 auf und berechnen Sie die Summe und das Produkt ihrer Wurzeln.

(10) Ausdruck mit den Wurzeln

Wenn \( x_1 \) und \( x_2 \) die Wurzeln der Gleichung
\( x^2 - 11x + 14 = 0 \),
sind, berechnen Sie den Wert des Ausdrucks
\( x_1^3 + x_2^3 \)
ohne die Gleichung direkt zu lösen, indem Sie nur die Vieta-Formeln verwenden.

(11) Bedingung bezüglich der Quadrate der Lösungen

In der Gleichung
\( x^2 - (1 + m)x + m = 0 \)
bestimmen Sie die reelle Zahl \( m \) wissend, dass ihre Lösungen \( x_1, x_2 \) die Gleichheit
\( x_1^2 + x_2^2 = 10 \).

(12) Bestimmung der Koeffizienten

Bestimmen Sie die Koeffizienten \( p \) und \( q \) der quadratischen Gleichung
\( x^2 + px + q = 0 \)
so, dass ihre Lösungen
\( x_1 = 3 \) und \( x_2 = 4 \).
erfüllen. Wenden Sie die Vieta-Formeln an, um die Koeffizienten zu bestimmen.

(13) Bruch vereinfachen

\( \dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - 3x - 10} \).
Faktorisieren Sie Zähler und Nenner unter Verwendung bekannter Methoden für quadratische Ausdrücke und schreiben Sie dann die endgültige vereinfachte Form des Bruchs.

(14) Wert eines Ausdrucks mit den Wurzeln

Wenn \( x_1 \) und \( x_2 \) die Lösungen der Gleichung
\( x^2 - 6x - 1 = 0 \),
sind, bestimmen Sie den Wert des Ausdrucks
\( \dfrac{x_1^2}{x_2} + \dfrac{x_2^2}{x_1} \)
unter Verwendung der Vieta-Formeln, ohne die Lösungen der Gleichung direkt zu berechnen.

(15) Bestimmung eines Parameters aus einer Wurzel

In der Gleichung
\( x^2 - 10x + q = 0 \)
ist eine Lösung \( x_1 = 9 \), und die andere Lösung ist \( x_2 \).
Bestimmen Sie den Wert des reellen Parameters \( q \) unter Verwendung der Vieta-Formeln.