(1) Zbir i proizvod korena

Za kvadratnu jednačinu
\( x^2 - 4x + 6 = 0 \)
odredite zbir i proizvod njenih korena koristeći Vijetove formule, a zatim proverite da li oba korena mogu biti prirodni brojevi.

(2) Konstrukcija jednačine iz datih korena

Koreni kvadratne jednačine su
\( x_1 = -4 \) i \( x_2 = -7 \).
Konstruišite kvadratnu jednačinu sa vodećim koeficijentom 1 koja ima ove korene i napišite je u standardnom obliku.

(3) Nepoznati koren

Jedan koren jednačine
\( x^2 - 14x + 5 = 0 \)
jednak je \( 8 \). Odredite drugi koren i proverite rešenje primenom Vijetovih formula.

(4) Određivanje parametra

Za koju vrednost parametra \( m \) jednačina
\( x^2 - (m + 7)x + m\cdot 4 = 0 \)
ima korene čiji je zbir jednak \( 1 \) i čiji je proizvod jednak \( 8 \)?

(5) Kvadratna jednačina sa recipročnim korenima

Odredite vrednost broja \( p \) tako da jednačina
\( x^2 - 3x + p = 0 \)
ima korene koji su međusobno recipročni. Nakon toga izračunajte same korene.

(6) Jednačina iz zbira kvadrata korena

Koreni kvadratne jednačine zadovoljavaju uslove
\( x_1 + x_2 = 10 \) i \( x_1^2 + x_2^2 = 8 \).
Odredite proizvod korena, a zatim konstruišite odgovarajuću kvadratnu jednačinu sa vodećim koeficijentom 1.

(7) Poređenje korena bez računanja diskriminante

Razmotrite jednačinu
\( x^2 - 16x + 17 = 0 \).
Koristeći samo Vijetove formule, odredite da li oba korena mogu biti pozitivna i manja od broja \( 11 \).

(8) Celobrojni koreni

Odredite sve vrednosti broja \( q \) za koje jednačina
\( x^2 - 15x + q = 0 \)
ima dva različita celobrojna korena. Napišite sve moguće parove korena.

(9) Jednačina čiji su koreni pomerani za isti broj

Koreni određene kvadratne jednačine su brojevi
\( 0 + -4 \) i \( 2 + -4 \).
Konstruišite kvadratnu jednačinu sa vodećim koeficijentom 1 i izračunajte zbir i proizvod njenih korena.

(10) Izraz sa korenima

Ako su \( x_1 \) i \( x_2 \) koreni jednačine
\( x^2 - 13x + 12 = 0 \),
izračunajte vrednost izraza
\( x_1^3 + x_2^3 \)
bez direktnog rešavanja jednačine, koristeći samo Vijetove formule.

(11) Uslov o kvadratima rešenja

U jednačini
\( x^2 - (1 + m)x + m = 0 \)
odredite realan broj \( m \) znajući da njezina rešenja \( x_1, x_2 \) zadovoljavaju jednakost
\( x_1^2 + x_2^2 = 10 \).

(12) Određivanje koeficijenata

Odredite koeficijente \( p \) i \( q \) kvadratne jednačine
\( x^2 + px + q = 0 \)
tako da njezina rešenja zadovoljavaju
\( x_1 = 1 \) i \( x_2 = 2 \).
Primenite Vijetove formule za određivanje koeficijenata.

(13) Pojednostavljenje razlomka

\( \dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - 3x - 10} \).
Rastavite brojilac i imenilac na faktore koristeći poznate metode za kvadratne izraze, a zatim napišite konačni pojednostavljeni oblik razlomka.

(14) Vrednost izraza sa korenima

Ako su \( x_1 \) i \( x_2 \) rešenja jednačine
\( x^2 - 4x - 1 = 0 \),
odredite vrednost izraza
\( \dfrac{x_1^2}{x_2} + \dfrac{x_2^2}{x_1} \)
koristeći Vijetove formule bez direktnog izračunavanja rešenja jednačine.

(15) Određivanje parametra iz jednog korena

U jednačini
\( x^2 - 6x + q = 0 \)
jedno rešenje je \( x_1 = 14 \), a drugo rešenje je \( x_2 \).
Odredite vrednost realnog parametra \( q \) koristeći Vijetove formule.