(1) Частные производные полинома

Определите частные производные функции
\( f(x,y)= 9x^2y + 5xy^2 + 4x + 2y + 3 \).
Вычислите \( \frac{\partial f}{\partial x} \) и \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(2) Частные производные в точке

Дана функция
\( f(x,y)= -5x^2 + -4xy + 0y^2 + 5x + 2y \).
Вычислите частные производные первого порядка и их значения в точке \( (x,y)=(-4, 0) \).

(3) Частные производные функции третьей степени

Определите частные производные функции
\( f(x,y)= 6x^3 + 3x^2y + 7xy^2 + 4y^3 + 5xy \).
Вычислите \( \frac{\partial f}{\partial x} \) и \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(4) Частная производная рациональной функции

Дана функция
\( f(x,y)= \frac{7x^2 + 3y}{5x + 8y} \).
Определите частную производную \( \frac{\partial f}{\partial x} \).

(5) Частные производные степенной функции

Определите частные производные функции
\( f(x,y)= 5x^{6}y^{1} + 2xy + 4y \).
Вычислите \( \frac{\partial f}{\partial x} \) и \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(6) Частные производные показательной функции

Дана функция
\( f(x,y)= e^{4x + 5y} + 3xy + 2x \).
Определите частные производные первого порядка.

(7) Частные производные тригонометрической функции

Определите частные производные функции
\( f(x,y)= 6\sin(xy) + 4x\cos(y) + 7y + 5 \).
Вычислите \( \frac{\partial f}{\partial x} \) и \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(8) Частные производные логарифмической функции

Дана функция
\( f(x,y)= \ln(2x + 4y) + 3xy + 7x \).
Определите частные производные первого порядка.

(9) Частные производные второго порядка

Дана функция
\( f(x,y)= 4x^2y + 5xy^2 + 2x + 3y \).
Вычислите вторые частные производные \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \), \( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \) и \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \).

(10) Частная производная сложной функции

Дана функция
\( f(x,y)= ( 2x + 4y )^{3} + 5xy \).
Определите частные производные \( \frac{\partial f}{\partial x} \) и \( \frac{\partial f}{\partial y} \).