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(1) Logarithmische Gleichung mit Bedingung
Löse die Gleichung unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs
\( \log_{6}(x - 3) + \log_{6}(x - 4) = 5 \).
Schreibe die Lösung als Menge reeller Zahlen.
(2) Exponentialgleichung mit Parametern
Löse die Gleichung
\( 4^{x+5} = 2 \cdot 4^{2x} \).
Drücke das Ergebnis in der einfachsten Form aus.
(3) Umkehrfunktion
Gegeben ist die Funktion
\( f(x) = \log_{2}(x - 4) \).
Bestimme die Umkehrfunktion und deren Definitionsbereich.
(4) Gleichung mit Basiswechsel
Löse die Gleichung unter Verwendung der Basiswechselformel
\( \log_{4} x = \frac{\log x}{\log 3} + 6 \).
Schreibe die Lösung in Exponentialform.
(5) Exponentialungleichung mit Verschiebung
Löse die Ungleichung
\( 5^{x - 3} \le 2^{x + 4} \).
Stelle die Lösung als Intervall dar.
(6) Kombination von Logarithmen
Vereinfache den Ausdruck
\( \frac{\log_{5}(x^{2}) + \large \log_{5}(x^{4})}{\log_{5} x} \).
Schreibe das Ergebnis nach Möglichkeit ohne Logarithmen.
(7) Wachstumsmodell und Logarithmen
Der Wert der Investition wird durch die Funktion beschrieben
\( A(t) = 2000 \cdot e^{1000 t} \).
Bestimme den Zeitpunkt, an dem der Wert \( 1500 \) erreicht.
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(8) Schnittpunkt von Funktionen
Bestimme die Schnittpunkte der Funktionen
\( f(x) = 2^x \) i \( g(x) = \log_{2}(x + 3) \).
Finde die Lösung analytisch oder durch Schätzung.
(9) Komplexere logarithmische Gleichung
Löse die Gleichung
\( \large \log_{2}(x^2 - 5x + 3) = 4 \).
Berücksichtige die Definitionsbedingungen.
(10) Transformation des Graphen
Gegeben ist die Funktion
\( f(x) = 5^x \).
Bestimme die Gleichung der Funktion, die durch Spiegelung an der \( y \)-Achse, anschließende Verschiebung um \( 3 \) nach rechts und um \( 4 \) nach unten entsteht.
(11) Gleichung mit doppelter Substitution
Löse die Gleichung
\( 5^{2x} - ( 3 + 4 ) \cdot 5^x + 3 \cdot 4 = 0 \).
Führe die Substitution \( t = 5^x \) ein, löse die quadratische Gleichung für \( t \) und kehre dann zur Unbekannten \( x \) zurück.
(12) Logarithmische Gleichung mit rationalem Ausdruck
Löse die Gleichung unter vollständiger Prüfung der Definitionsbedingungen
\( \log_{2} \left( \frac{x - 6}{x - 4} \right) = \log_{2} ( 3 ) - \log_{2} ( 5 ) \).
Schreibe die Lösung als Menge reeller Zahlen und gib die ausgeschlossenen Werte separat an.
(13) Parametrische Exponentialgleichung
Bestimme alle reellen Werte des Parameters \( m \), für die die Gleichung genau eine reelle Lösung hat
\( 3^x + 2 \cdot 3^{-x} = m \).
Bestimme anschließend für die erhaltenen Parameterwerte die entsprechende Lösung der Gleichung.
(14) System aus logarithmischen und exponentiellen Verknüpfungen
Löse das Gleichungssystem
\( y = 5^x \), \( \log_{5}(y) + x = 4 \), \( y > 0 \).
Schreibe die Lösung als geordnetes Paar \( (x,y) \).
(15) Beweis- und Problemaufgabe mit Funktion
Gegeben ist die Funktion
\( f(x) = \log_{6}(x + 5) - \log_{6}(4x - 2) \).
Bestimme den Definitionsbereich der Funktion, dann die Gleichung \( f(x) = 0 \) und untersuche, für welche Werte von \( x \) gilt \( f(x) > 0 \).
Schreibe die Schlussfolgerung als Vereinigung von Intervallen.
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