(1) Zadana su dva vektora \(\vec{a} = 5\vec{i} - 3\vec{j}\) i \(\vec{b} = -1\vec{i} + 9\vec{j}\). Odredi koordinate vektora \(\vec{c}\) ako vrijedi:

$$ \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} $$

Rješenje zapiši kao uređeni par (x, y).

(2) Izračunaj linearnu kombinaciju vektora. Zadani su vektori \(\vec{u} = ( 5, -1 )\) i \(\vec{v} = ( -2, 5 )\). Odredi vektor \(\vec{w}\) prema formuli:

$$ \vec{w} = 4 \cdot \vec{u} - 3 \cdot \vec{v} $$

(3) Odredi duljinu (modul) rezultantnog vektora \(\vec{z} = \vec{a} - \vec{b}\), ako su koordinate vektora zadane u tablici:

Napomena: Duljina vektora \(\vec{v}(x, y)\) računa se formulom \( |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \).

(4) Točke \(A( 2, 6 )\) i \(B( 9, 12 )\) određuju vektor \(\vec{AB}\). Točka \(C\) ima koordinate \(( 9, 3 )\). Odredi koordinate vektora \(\vec{d}\) koji je zbroj vektora \(\vec{AB}\) i radij-vektora točke \(C\) (\(\vec{r_C}\)).

$$ \vec{d} = \vec{AB} + \vec{r_C} $$

(5) Riješi vektorsku jednadžbu i odredi nepoznati vektor \(\vec{x}\). Zadani su vektori \(\vec{m} = ( 18, -6 )\) i \(\vec{n} = ( 8, 8 )\).

$$ 2\vec{x} + \vec{n} = \vec{m} $$

(6) Na tijelo djeluju dvije sile, \(\vec{F_1}\) i \(\vec{F_2}\), pod pravim kutom (duž osi x i y). Izračunaj iznos (magnitudu) rezultantne sile \(\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}\).

(7) Zadani su vektori \(\vec{p} = (x, 4)\) i \(\vec{q} = ( 5, -5 )\). Ako je zbroj tih vektora \(\vec{s} = \vec{p} + \vec{q}\) jednak vektoru \(( 13, y )\), odredi nepoznate vrijednosti \(x\) i \(y\).

(8) Čamac prelazi rijeku. Njegova brzina u odnosu na vodu je \(\vec{v_c} = ( 3, 4.50 )\) m/s, dok rijeka teče brzinom \(\vec{v_r} = ( 3, -1.20 )\) m/s. Koja je stvarna brzina čamca u odnosu na obalu (\(\vec{v_u} = \vec{v_c} + \vec{v_r}\))?

Rezultat izrazi kao vektor u koordinatnom sustavu.

(9) Provjeri svojstvo asocijativnosti zbrajanja vektora. Izračunaj lijevu stranu jednakosti za zadane vektore:

\(\vec{a} = (5, 2)\), \(\vec{b} = (-3, 6)\), \(\vec{c} = (4, -1)\)

$$ \vec{S} = (\vec{a} + \vec{b}) - \vec{c} $$

(10) Odredi opseg trokuta čiji su vrhovi točke \(A(0,0)\), \(B(3, 0)\) i \(C(0, 8)\) koristeći zbrajanje i oduzimanje vektora za određivanje duljina stranica.

Uputa: Stranice su vektori \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\) i \(\vec{CA}\). Izračunaj njihove duljine i zbroji ih.