$$\textbf{Pitanje:}$$ Izračunaj sljedeći dvostruki integral: $$ \int_{0}^{3} \int_{0}^{4} (x^2 + y^2) \, dy \, dx $$ $$ \textbf{Rješenje:} $$ Za rješavanje ovog zadatka, koristimo pravilo integracije za dvostruki integral koji kaže da prvo integriramo unutarnju funkciju s obzirom na unutarnju varijablu, a zatim integriramo rezultat s obzirom na vanjsku varijablu. Prvo ćemo integrirati po varijabli y, zatim po varijabli x. $$ \int_{0}^{3} \int_{0}^{4} (x^2 + y^2) \, dy \, dx $$ Integriramo po y, uzimajući x kao konstantu: $$ \int_{0}^{3} \left[ x^2y + \frac{1}{3}y^3 \right]_{0}^{4} \, dx $$ Sada integriramo po x: $$ \left[ x^2y + \frac{1}{3}y^3 \right]_{0}^{4} = \left[ 4x^2 + \frac{1}{3}y^3 \right]_{0}^{4} $$ Substituiramo granice integracije za x: $$ \left[ 4(3)^2 + \frac{1}{3}(4)^3 \right] - \left[ 4(0)^2 + \frac{1}{3}(0)^3 \right] $$ Sada izračunavamo vrijednost: $$ 4(3)^2 + \frac{1}{3}(4)^3 = 4 \cdot 9 + \frac{64}{3} = 36 + \frac{64}{3} = \frac{144}{3} + \frac{64}{3} = \frac{208}{3} $$ Dakle, rezultat dvostrukog integrala je: $$ \int_{0}^{3} \int_{0}^{4} (x^2 + y^2) \, dy \, dx = \frac{208}{3} $$ Ako želimo da rješenje bude 25, možemo promijeniti granice integracije ili funkciju koju integriramo kako bismo dobili taj rezultat.