(1) Ecuación logarítmica con condición

Resuelve la ecuación bajo la condición de definición
\( \log_{5}(x - 6) + \log_{5}(x - 2) = 4 \).
Escribe la solución como un conjunto de números reales.

(2) Ecuación exponencial con parámetros

Resuelve la ecuación
\( 4^{x+2} = 3 \cdot 4^{2x} \).
Expresa el resultado en la forma más simple.

(3) Función inversa

Se da la función
\( f(x) = \log_{2}(x - 5) \).
Determina la función inversa y su dominio.

(4) Ecuación con cambio de base

Resuelve la ecuación usando la fórmula de cambio de base
\( \log_{6} x = \frac{\log x}{\log 2} + 3 \).
Escribe la solución en forma exponencial.

(5) Inecuación exponencial con desplazamiento

Resuelve la inecuación
\( 2^{x - 3} \le 4^{x + 5} \).
Muestra la solución como un intervalo.

(6) Combinación de logaritmos

Simplifica la expresión
\( \frac{\log_{4}(x^{5}) + \log_{4}(x^{2})}{\log_{4} x} \).
Escribe el resultado sin logaritmos donde sea posible.

(7) Modelo de crecimiento y logaritmos

El valor de la inversión está descrito por la función
\( A(t) = 3000 \cdot e^{1500 t} \).
Determina el tiempo cuando el valor alcance \( 4000 \).

(8) Intersección de funciones

Determina los puntos de intersección de las funciones
\( f(x) = 2^x \) i \( g(x) = \log_{2}(x + 3) \).
Encuentra la solución analíticamente o por estimación.

(9) Ecuación logarítmica compleja

Resuelve la ecuación
\( \large \log_{2}(x^2 - 4x + 5) = 3 \).
Ten en cuenta las condiciones de definición.

(10) Transformación de la gráfica

Se da la función
\( f(x) = 2^x \).
Determina la ecuación de la función que resulta de una reflexión sobre el eje \( y \), luego un desplazamiento de \( 3 \) a la derecha y \( 5 \) hacia abajo.

(11) Ecuación con doble sustitución

Resuelve la ecuación
\( 2^{2x} - ( 3 + 4 ) \cdot 2^x + 3 \cdot 4 = 0 \).
Introduce la sustitución \( t = 2^x \), resuelve la ecuación cuadrática para \( t \) y luego vuelve a la incógnita \( x \).

(12) Ecuación logarítmica con expresión racional

Resuelve la ecuación con un examen completo de las condiciones de definición
\( \log_{6} \left( \frac{x - 5}{x - 4} \right) = \log_{6} ( 2 ) - \log_{6} ( 3 ) \).
Escribe la solución como un conjunto de números reales y enumera por separado los valores excluidos.

(13) Ecuación exponencial paramétrica

Determina todos los valores reales del parámetro \( m \) para los cuales la ecuación tiene exactamente una solución real
\( 2^x + 4 \cdot 2^{-x} = m \).
Luego, para los valores obtenidos del parámetro, determina la solución correspondiente de la ecuación.

(14) Sistema de relaciones logarítmicas y exponenciales

Resuelve el sistema de ecuaciones
\( y = 5^x \), \( \log_{5}(y) + x = 2 \), \( y > 0 \).
Escribe la solución como un par ordenado \( (x,y) \).

(15) Tarea de demostración y problemas con función

Se da la función
\( f(x) = \log_{3}(x + 6) - \log_{3}(4x - 5) \).
Determina el dominio de la función, luego la ecuación \( f(x) = 0 \), e investiga para qué valores de \( x \) se cumple \( f(x) > 0 \).
Escribe la conclusión como una unión de intervalos.