(1) Adição de matrizes e matriz oposta

São dadas as matrizes
\( A=\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 10 & 8 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}. \)
a) Calcula a matriz ( A+B ).
b) Determina a matriz oposta da matriz ( A ) e depois calcula ( A+(-A) ). Explica o resultado obtido.

(2) Subtração de matrizes e verificação de propriedades

São dadas as matrizes
\( C=\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix} 4 & -4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. \)
a) Calcula a matriz ( C-D ).
b) Verifica se a igualdade ( C-D=-(D-C) ) é válida.

(3) Multiplicação de matrizes por um escalar e distributividade

É dada a matriz
\( E=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \)
e os escalares ( k=-1 ) e ( m=-2 ).
a) Calcula a matriz ( kE ).
b) Calcula ( (k+m)E ) e compara com ( kE+mE ).

(4) Produto de matrizes e não comutatividade

São dadas as matrizes
\( F=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}, \quad G=\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}. \)
a) Calcula o produto ( FG ).
b) Calcula o produto ( GF ).
c) Compara os resultados e conclui se a multiplicação de matrizes é comutativa neste caso.

(5) Transposição e propriedades da transposição

É dada a matriz
\( H=\begin{pmatrix} 4 & 7 & 8 \\ 9 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \)
a) Determina a matriz transposta ( H^T ).
b) Calcula ( (H^T)^T ) e compara com a matriz ( H ).

(6) Distributividade da multiplicação de matrizes

São dadas as matrizes
\( A=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \)
\( C=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}. \)
a) Calcula ( A(B+C) ).
b) Calcula ( AB+AC ) e compara os resultados.

(7) Matriz identidade e potências

É dada a matriz
\( K=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \)
e a matriz identidade ( I ) de ordem ( n=2 ).
a) Calcula ( KI ) e ( IK ).
b) Calcula ( K^2 ) e compara com ( KK ).

(8) Combinação linear de matrizes

São dadas as matrizes
\( M=\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad N=\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}. \)
Para os escalares ( a=4 ) e ( b=2 ):
a) Calcula ( aM-bN ).
b) Determina a matriz ( X ) tal que se verifique ( X+aN=bM ).

(9) Quadrado de uma matriz e diferença de quadrados

É dada a matriz
\( L=\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}. \)
a) Calcula ( L^2 ).
b) Calcula ( (L-I)(L+I) ), onde ( I ) é a matriz identidade de ordem 2.

(10) Associatividade da multiplicação de matrizes

São dadas as matrizes
\( P=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad Q=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}, \quad R=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}. \)
a) Calcula ( (PQ)R ).
b) Calcula ( P(QR) ).
c) Compara as matrizes obtidas e conclui se a associatividade da multiplicação é válida neste exemplo.