(1) Zbroj i umnožak korijena

Za kvadratnu jednadžbu
\( x^2 - 9x + 11 = 0 \)
odredite zbroj i umnožak njezinih korijena koristeći Vièteove formule, a zatim provjerite mogu li oba korijena biti prirodni brojevi.

(2) Konstrukcija jednadžbe iz zadanih korijena

Korijeni kvadratne jednadžbe su
\( x_1 = 3 \) i \( x_2 = 5 \).
Konstruirajte kvadratnu jednadžbu s vodećim koeficijentom 1 koja ima ove korijene i napišite je u standardnom obliku.

(3) Nepoznati korijen

Jedan korijen jednadžbe
\( x^2 - 20x + 19 = 0 \)
jednak je \( 8 \). Odredite drugi korijen i provjerite rješenje primjenom Vièteovih formula.

(4) Određivanje parametra

Za koju vrijednost parametra \( m \) jednadžba
\( x^2 - (m + 5)x + m\cdot 8 = 0 \)
ima korijene čiji je zbroj jednak \( 3 \) i čiji je umnožak jednak \( 9 \)?

(5) Kvadratna jednadžba s recipročnim korijenima

Odredite vrijednost broja \( p \) tako da jednadžba
\( x^2 - 7x + p = 0 \)
ima korijene koji su međusobno recipročni. Nakon toga izračunajte same korijene.

(6) Jednadžba iz zbroja kvadrata korijena

Korijeni kvadratne jednadžbe zadovoljavaju uvjete
\( x_1 + x_2 = 5 \) i \( x_1^2 + x_2^2 = 6 \).
Odredite umnožak korijena, a zatim konstruirajte odgovarajuću kvadratnu jednadžbu s vodećim koeficijentom 1.

(7) Usporedba korijena bez računanja diskriminante

Razmotrite jednadžbu
\( x^2 - 14x + 11 = 0 \).
Koristeći samo Vièteove formule, odredite mogu li oba korijena biti pozitivna i manja od broja \( 8 \).

(8) Cjelobrojni korijeni

Odredite sve vrijednosti broja \( q \) za koje jednadžba
\( x^2 - 15x + q = 0 \)
ima dva različita cjelobrojna korijena. Napišite sve moguće parove korijena.

(9) Jednadžba čiji su korijeni pomaknuti za isti broj

Korijeni određene kvadratne jednadžbe su brojevi
\( 1 + -5 \) i \( 5 + -5 \).
Konstruirajte kvadratnu jednadžbu s vodećim koeficijentom 1 i izračunajte zbroj i umnožak njezinih korijena.

(10) Izraz s korijenima

Ako su \( x_1 \) i \( x_2 \) korijeni jednadžbe
\( x^2 - 11x + 12 = 0 \),
izračunajte vrijednost izraza
\( x_1^3 + x_2^3 \)
bez direktnog rješavanja jednadžbe, koristeći samo Vièteove formule.

(11) Uvjet o kvadratima rješenja

U jednadžbi
\( x^2 - (1 + m)x + m = 0 \)
odredite realni broj \( m \) znajući da njezina rješenja \( x_1, x_2 \) zadovoljavaju jednakost
\( x_1^2 + x_2^2 = 10 \).

(12) Određivanje koeficijenata

Odredite koeficijente \( p \) i \( q \) kvadratne jednadžbe
\( x^2 + px + q = 0 \)
tako da njezina rješenja zadovoljavaju
\( x_1 = 4 \) i \( x_2 = 2 \).
Primijenite Vièteove formule za određivanje koeficijenata.

(13) Pojednostavljenje razlomka

\( \dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - 3x - 10} \).
Rastavite brojnik i nazivnik na faktore koristeći poznate metode za kvadratne izraze, a zatim napišite konačni pojednostavljeni oblik razlomka.

(14) Vrijednost izraza s korijenima

Ako su \( x_1 \) i \( x_2 \) rješenja jednadžbe
\( x^2 - 3x - 1 = 0 \),
odredite vrijednost izraza
\( \dfrac{x_1^2}{x_2} + \dfrac{x_2^2}{x_1} \)
koristeći Vièteove formule bez direktnog izračunavanja rješenja jednadžbe.

(15) Određivanje parametra iz jednog korijena

U jednadžbi
\( x^2 - 8x + q = 0 \)
jedno rješenje je \( x_1 = 7 \), a drugo rješenje je \( x_2 \).
Odredite vrijednost realnog parametra \( q \) koristeći Vièteove formule.