(1) Somma e prodotto delle radici

Per l'equazione quadratica
\( x^2 - 8x + 12 = 0 \)
determinare la somma e il prodotto delle sue radici utilizzando le formule di Viète e, successivamente, verificare se entrambe le radici possono essere numeri naturali.

(2) Costruzione di un'equazione a partire da radici date

Le radici di un'equazione quadratica sono
\( x_1 = 3 \) e \( x_2 = 0 \).
Costruire un'equazione quadratica con coefficiente principale 1 che abbia queste radici e scriverla in forma standard.

(3) Radice sconosciuta

Una radice dell'equazione
\( x^2 - 11x + 14 = 0 \)
è uguale a \( 16 \). Determinare l'altra radice e verificare la soluzione applicando le formule di Viète.

(4) Determinazione di un parametro

Per quale valore del parametro \( m \) l'equazione
\( x^2 - (m + 1)x + m\cdot 9 = 0 \)
ha radici la cui somma è uguale a \( 5 \) e il cui prodotto è uguale a \( 4 \)?

(5) Equazione quadratica con radici reciproche

Determinare il valore del numero \( p \) affinché l'equazione
\( x^2 - 8x + p = 0 \)
abbia radici che siano numeri reciproci. Successivamente, calcolare le radici stesse.

(6) Equazione dalla somma dei quadrati delle radici

Le radici di un'equazione quadratica soddisfano le condizioni
\( x_1 + x_2 = 8 \) e \( x_1^2 + x_2^2 = 16 \).
Determinare il prodotto delle radici e, successivamente, costruire l'equazione quadratica corrispondente con coefficiente principale 1.

(7) Confronto delle radici senza calcolare il discriminante

Si consideri l'equazione
\( x^2 - 6x + 10 = 0 \).
Utilizzando solo le formule di Viète, determinare se entrambe le radici possono essere positive e minori del numero \( 8 \).

(8) Radici intere

Determinare tutti i valori del numero \( q \) per i quali l'equazione
\( x^2 - 11x + q = 0 \)
ha due radici intere distinte. Scrivere tutte le possibili coppie di radici.

(9) Equazione le cui radici sono traslate dello stesso numero

Le radici di una certa equazione quadratica sono i numeri
\( -1 + 0 \) e \( -4 + 0 \).
Costruire un'equazione quadratica con coefficiente principale 1 e calcolare la somma e il prodotto delle sue radici.

(10) Espressione con le radici

Se \( x_1 \) e \( x_2 \) sono le radici dell'equazione
\( x^2 - 12x + 9 = 0 \),
calcolare il valore dell'espressione
\( x_1^3 + x_2^3 \)
senza risolvere direttamente l'equazione, usando solo le formule di Viète.

(11) Condizione sui quadrati delle soluzioni

Nell'equazione
\( x^2 - (1 + m)x + m = 0 \)
determinare il numero reale \( m \) sapendo che le sue soluzioni \( x_1, x_2 \) soddisfano l'uguaglianza
\( x_1^2 + x_2^2 = 10 \).

(12) Determinare i coefficienti

Determinare i coefficienti \( p \) e \( q \) dell'equazione quadratica
\( x^2 + px + q = 0 \)
in modo che le sue soluzioni soddisfino
\( x_1 = 2 \) e \( x_2 = 4 \).
Applicare le formule di Viète per determinare i coefficienti.

(13) Semplificare la frazione

\( \dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - 3x - 10} \).
Scomporre in fattori il numeratore e il denominatore utilizzando metodi noti per le espressioni quadratiche e, successivamente, scrivere la forma semplificata finale della frazione.

(14) Valore di un'espressione con le radici

Se \( x_1 \) e \( x_2 \) sono le soluzioni dell'equazione
\( x^2 - 5x - 1 = 0 \),
determinare il valore dell'espressione
\( \dfrac{x_1^2}{x_2} + \dfrac{x_2^2}{x_1} \)
utilizzando le formule di Viète senza calcolare direttamente le soluzioni dell'equazione.

(15) Determinazione di un parametro a partire da una radice

Nell'equazione
\( x^2 - 10x + q = 0 \)
una soluzione è \( x_1 = 7 \), e l'altra soluzione è \( x_2 \).
Determinare il valore del parametro reale \( q \) utilizzando le formule di Viète.