(1) Polynom und Anwendung der Potenzregel

Bestimmen Sie das unbestimmte Integral der Funktion
\( f(x) = 6 x^{5} - 2 x^{3} + 6 \).
Wenden Sie die Linearität des Integrals und die Potenzregel für das Integrieren an. Schreiben Sie das Ergebnis in der einfachsten Form mit der Integrationskonstante.

(2) Modell der Geschwindigkeit der Bewegung

Die Geschwindigkeit eines Körpers im Moment \(x\) ist durch die Funktion gegeben
\( v(x) = 4 x^{1} + 5 x \).
Bestimmen Sie die Wegfunktion \(s(x)\), wenn \(s'(x)=v(x)\) gilt. Geben Sie das Ergebnis mit der Integrationskonstante an und interpretieren Sie ihre Bedeutung.

(3) Exponentielles Wachstum

Berechnen Sie das unbestimmte Integral der Funktion
\( f(x) = 4 e^{6 x} + 5 \).
Vereinfachen Sie das Ergebnis und erklären Sie, wie eine Funktion der Form \(e^{ax}\) integriert wird.

(4) Trigonometrische Kombination

Bestimmen Sie das unbestimmte Integral des Ausdrucks
\( \int \left( 2 \sin(1 x) - 3 \cos(4 x) \right) dx \).
Wenden Sie bekannte Formeln für Integrale der Sinus- und Kosinusfunktion an und schreiben Sie das Ergebnis mit der Integrationskonstante.

(5) Logarithmische Struktur

Berechnen Sie das unbestimmte Integral
\( \int \left( \frac{2}{x} + 4 x^{6} \right) dx \).
Drücken Sie das Ergebnis bei Bedarf mit dem natürlichen Logarithmus aus und geben Sie die Integrationskonstante an.

(6) Substitution – Potenz eines linearen Ausdrucks

Bestimmen Sie das unbestimmte Integral
\( \int ( 5 x + 2 )^{3} dx \).
Wenden Sie eine geeignete Substitution an und geben Sie das Endergebnis klar mit der Integrationskonstante an.

(7) Wurzeln und Potenzen

Berechnen Sie das unbestimmte Integral der Funktion
\( f(x) = 4 \sqrt{x} + 2 x^{3} - 1 \).
Schreiben Sie vor dem Integrieren die Wurzel als Potenz und wenden Sie anschließend die Potenzregel an.

(8) Physikalische Interpretation der Kraft

Die auf einen Körper wirkende Kraft wird durch die Funktion beschrieben
\( F(x) = 2 x^{4} \).
Wenn Arbeit als unbestimmtes Integral der Kraft nach dem Weg definiert ist, bestimmen Sie die Arbeitsfunktion \(W(x)\). Geben Sie das Ergebnis mit der Integrationskonstante an.

(9) Gebrochener Ausdruck mit mehreren Gliedern

Bestimmen Sie das unbestimmte Integral
\( \int \left( \frac{2}{x} + 3 x^{1} + 4 e^x \right) dx \).
Wenden Sie die Linearität des Integrals an und vereinfachen Sie den Endausdruck mit der Integrationskonstante.

(10) Tangens und lineares Glied

Berechnen Sie das unbestimmte Integral des Ausdrucks
\( \int \left( 3 \tan(2 x) + 1 x \right) dx \).
Drücken Sie das Ergebnis bei Bedarf mit dem natürlichen Logarithmus aus und fügen Sie die Integrationskonstante hinzu.