(1) Addizione di matrici e matrice opposta

Siano date le matrici
\( A=\begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 1 \end{pmatrix}. \)
a) Calcola la matrice ( A+B ).
b) Determina la matrice opposta della matrice ( A ) e quindi calcola ( A+(-A) ). Spiega il risultato ottenuto.

(2) Sottrazione di matrici e verifica delle proprietà

Siano date le matrici
\( C=\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -3 & 0 \end{pmatrix}. \)
a) Calcola la matrice ( C-D ).
b) Verifica se vale l'uguaglianza ( C-D=-(D-C) ).

(3) Moltiplicazione di una matrice per uno scalare e distributività

Sia data la matrice
\( E=\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \)
e gli scalari ( k=0 ) e ( m=-3 ).
a) Calcola la matrice ( kE ).
b) Calcola ( (k+m)E ) e confronta con ( kE+mE ).

(4) Prodotto di matrici e non commutatività

Siano date le matrici
\( F=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}, \quad G=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}. \)
a) Calcola il prodotto ( FG ).
b) Calcola il prodotto ( GF ).
c) Confronta i risultati e concludi se la moltiplicazione tra matrici è commutativa in questo caso.

(5) Trasposizione e proprietà della trasposizione

Sia data la matrice
\( H=\begin{pmatrix} 5 & 9 & 8 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}. \)
a) Determina la matrice trasposta ( H^T ).
b) Calcola ( (H^T)^T ) e confronta con la matrice ( H ).

(6) Distributività della moltiplicazione tra matrici

Siano date le matrici
\( A=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}, \)
\( C=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}. \)
a) Calcola ( A(B+C) ).
b) Calcola ( AB+AC ) e confronta i risultati.

(7) Matrice identità e potenze

Sia data la matrice
\( K=\begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} \)
e la matrice identità ( I ) di ordine ( n=2 ).
a) Calcola ( KI ) e ( IK ).
b) Calcola ( K^2 ) e confronta con ( KK ).

(8) Combinazione lineare di matrici

Siano date le matrici
\( M=\begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}, \quad N=\begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}. \)
Per gli scalari ( a=5 ) e ( b=4 ):
a) Calcola ( aM-bN ).
b) Determina la matrice ( X ) tale che valga ( X+aN=bM ).

(9) Quadrato di una matrice e differenza di quadrati

Sia data la matrice
\( L=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}. \)
a) Calcola ( L^2 ).
b) Calcola ( (L-I)(L+I) ), dove ( I ) è la matrice identità di ordine 2.

(10) Associatività della moltiplicazione tra matrici

Siano date le matrici
\( P=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad Q=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad R=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}. \)
a) Calcola ( (PQ)R ).
b) Calcola ( P(QR) ).
c) Confronta le matrici ottenute e concludi se l'associatività della moltiplicazione vale in questo esempio.