(1) Логарифмічне рівняння з умовою

Розв'яжіть рівняння з урахуванням області визначення
\( \log_{4}(x - 5) + \log_{4}(x - 3) = 2 \).
Запишіть розв'язок як множину дійсних чисел.

(2) Показникове рівняння з параметрами

Розв'яжіть рівняння
\( 5^{x+2} = 3 \cdot 5^{2x} \).
Виразіть результат у найпростішому вигляді.

(3) Обернена функція

Задано функцію
\( f(x) = \log_{2}(x - 4) \).
Визначте обернену функцію та її область визначення.

(4) Рівняння зі зміною основи

Розв'яжіть рівняння, використовуючи формулу зміни основи
\( \log_{4} x = \frac{\log x}{\log 5} + 6 \).
Запишіть розв'язок у показниковій формі.

(5) Показникова нерівність зі зсувом

Розв'яжіть нерівність
\( 2^{x - 4} \le 3^{x + 5} \).
Подайте розв'язок у вигляді інтервалу.

(6) Комбінація логарифмів

Спростіть вираз
\( \frac{\log_{3}(x^{4}) + \log_{3}(x^{2})}{\log_{3} x} \).
Запишіть результат без логарифмів, де це можливо.

(7) Модель росту та логарифми

Вартість інвестиції описується функцією
\( A(t) = 3000 \cdot e^{1000 t} \).
Визначте час, коли вартість досягне \( 4000 \).

(8) Перетин функцій

Визначте точки перетину функцій
\( f(x) = 3^x \) i \( g(x) = \log_{3}(x + 2) \).
Знайдіть розв'язок аналітично або шляхом оцінки.

(9) Складніше логарифмічне рівняння

Розв'яжіть рівняння
\( \large \log_{3}(x^2 - 2x + 5) = 4 \).
Візьміть до уваги умови визначення.

(10) Трансформація графіка

Задано функцію
\( f(x) = 5^x \).
Визначте рівняння функції, що утворюється внаслідок відображення відносно осі \( y \), потім зсуву на \( 4 \) вправо та на \( 2 \) вниз.

(11) Рівняння з подвійною підстановкою

Розв'яжіть рівняння
\( 5^{2x} - ( 3 + 2 ) \cdot 5^x + 3 \cdot 2 = 0 \).
Введіть підстановку \( t = 5^x \), розв'яжіть квадратне рівняння відносно \( t \), а потім поверніться до змінної \( x \).

(12) Логарифмічне рівняння з раціональним виразом

Розв'яжіть рівняння з повним дослідженням умов визначення
\( \log_{6} \left( \frac{x - 5}{x - 3} \right) = \log_{6} ( 2 ) - \log_{6} ( 4 ) \).
Запишіть розв'язок як множину дійсних чисел і окремо вкажіть виключені значення.

(13) Параметричне показникове рівняння

Визначте всі дійсні значення параметра \( m \), при яких рівняння має рівно один дійсний розв'язок
\( 2^x + 4 \cdot 2^{-x} = m \).
Після цього для отриманих значень параметра визначте відповідний розв'язок рівняння.

(14) Система логарифмічних та показникових зв'язків

Розв'яжіть систему рівнянь
\( y = 2^x \), \( \log_{2}(y) + x = 4 \), \( y > 0 \).
Запишіть розв'язок як упорядковану пару \( (x,y) \).

(15) Доказово-проблемне завдання з функцією

Задано функцію
\( f(x) = \log_{2}(x + 4) - \log_{2}(3x - 5) \).
Визначте область визначення функції, потім рівняння \( f(x) = 0 \), та дослідіть, при яких значеннях \( x \) виконується \( f(x) > 0 \).
Запишіть висновок як об'єднання інтервалів.