(1) Логарифмічне рівняння з умовою

Розв'яжіть рівняння з урахуванням області визначення
\( \log_{6}(x - 2) + \log_{6}(x - 4) = 5 \).
Запишіть розв'язок як множину дійсних чисел.

(2) Показникове рівняння з параметрами

Розв'яжіть рівняння
\( 5^{x+4} = 2 \cdot 5^{2x} \).
Виразіть результат у найпростішому вигляді.

(3) Обернена функція

Задано функцію
\( f(x) = \log_{5}(x - 3) \).
Визначте обернену функцію та її область визначення.

(4) Рівняння зі зміною основи

Розв'яжіть рівняння, використовуючи формулу зміни основи
\( \log_{5} x = \frac{\log x}{\log 4} + 3 \).
Запишіть розв'язок у показниковій формі.

(5) Показникова нерівність зі зсувом

Розв'яжіть нерівність
\( 4^{x - 3} \le 2^{x + 5} \).
Подайте розв'язок у вигляді інтервалу.

(6) Комбінація логарифмів

Спростіть вираз
\( \frac{\log_{4}(x^{2}) + \log_{4}(x^{5})}{\log_{4} x} \).
Запишіть результат без логарифмів, де це можливо.

(7) Модель росту та логарифми

Вартість інвестиції описується функцією
\( A(t) = 3500 \cdot e^{1000 t} \).
Визначте час, коли вартість досягне \( 5000 \).

(8) Перетин функцій

Визначте точки перетину функцій
\( f(x) = 3^x \) i \( g(x) = \log_{3}(x + 4) \).
Знайдіть розв'язок аналітично або шляхом оцінки.

(9) Складніше логарифмічне рівняння

Розв'яжіть рівняння
\( \large \log_{3}(x^2 - 4x + 2) = 5 \).
Візьміть до уваги умови визначення.

(10) Трансформація графіка

Задано функцію
\( f(x) = 3^x \).
Визначте рівняння функції, що утворюється внаслідок відображення відносно осі \( y \), потім зсуву на \( 5 \) вправо та на \( 2 \) вниз.

(11) Рівняння з подвійною підстановкою

Розв'яжіть рівняння
\( 5^{2x} - ( 2 + 3 ) \cdot 5^x + 2 \cdot 3 = 0 \).
Введіть підстановку \( t = 5^x \), розв'яжіть квадратне рівняння відносно \( t \), а потім поверніться до змінної \( x \).

(12) Логарифмічне рівняння з раціональним виразом

Розв'яжіть рівняння з повним дослідженням умов визначення
\( \log_{4} \left( \frac{x - 2}{x - 5} \right) = \log_{4} ( 6 ) - \log_{4} ( 3 ) \).
Запишіть розв'язок як множину дійсних чисел і окремо вкажіть виключені значення.

(13) Параметричне показникове рівняння

Визначте всі дійсні значення параметра \( m \), при яких рівняння має рівно один дійсний розв'язок
\( Calculation Error^x + §§V13_1§§ \cdot §§V13_0§§^{-x} = m \).
Після цього для отриманих значень параметра визначте відповідний розв'язок рівняння.

(14) Система логарифмічних та показникових зв'язків

Розв'яжіть систему рівнянь
\( y = 3^x \), \( \log_{3}(y) + x = 2 \), \( y > 0 \).
Запишіть розв'язок як упорядковану пару \( (x,y) \).

(15) Доказово-проблемне завдання з функцією

Задано функцію
\( f(x) = \log_{5}(x + 2) - \log_{5}(3x - 4) \).
Визначте область визначення функції, потім рівняння \( f(x) = 0 \), та дослідіть, при яких значеннях \( x \) виконується \( f(x) > 0 \).
Запишіть висновок як об'єднання інтервалів.