(1) Partielle Ableitungen eines Polynoms

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen der Funktion
\( f(x,y)= 6x^2y + 2xy^2 + 8x + 3y + 1 \).
Berechnen Sie \( \frac{\partial f}{\partial x} \) und \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(2) Partielle Ableitungen in einem Punkt

Eine Funktion ist gegeben
\( f(x,y)= -1x^2 + 0xy + 4y^2 + 2x + 1y \).
Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung und ihre Werte im Punkt \( (x,y)=(0, 4) \).

(3) Partielle Ableitungen einer Funktion dritten Grades

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen der Funktion
\( f(x,y)= 5x^3 + 3x^2y + 1xy^2 + 4y^3 + 2xy \).
Berechnen Sie \( \frac{\partial f}{\partial x} \) und \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(4) Partielle Ableitung einer rationalen Funktion

Eine Funktion ist gegeben
\( f(x,y)= \frac{1x^2 + 4y}{7x + 2y} \).
Bestimmen Sie die partielle Ableitung \( \frac{\partial f}{\partial x} \).

(5) Partielle Ableitungen einer Potenzfunktion

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen der Funktion
\( f(x,y)= 6x^{3}y^{2} + 5xy + 4y \).
Berechnen Sie \( \frac{\partial f}{\partial x} \) und \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(6) Partielle Ableitungen einer Exponentialfunktion

Eine Funktion ist gegeben
\( f(x,y)= e^{2x + 1y} + 4xy + 3x \).
Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung.

(7) Partielle Ableitungen einer trigonometrischen Funktion

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen der Funktion
\( f(x,y)= 5\sin(xy) + 4x\cos(y) + 3y + 6 \).
Berechnen Sie \( \frac{\partial f}{\partial x} \) und \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(8) Partielle Ableitungen einer logarithmischen Funktion

Eine Funktion ist gegeben
\( f(x,y)= \ln(8x + 5y) + 6xy + 4x \).
Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung.

(9) Partielle Ableitungen zweiter Ordnung

Eine Funktion ist gegeben
\( f(x,y)= 5x^2y + 1xy^2 + 3x + 2y \).
Berechnen Sie die zweiten partiellen Ableitungen \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \), \( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \) und \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \).

(10) Partielle Ableitung einer zusammengesetzten Funktion

Eine Funktion ist gegeben
\( f(x,y)= ( 4x + 3y )^{5} + 1xy \).
Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen \( \frac{\partial f}{\partial x} \) und \( \frac{\partial f}{\partial y} \).