(1) Сложение матриц и противоположная матрица

Даны матрицы
\( A=\begin{pmatrix} 4 & 9 \\ 7 & 3 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}. \)
a) Вычислите матрицу ( A+B ).
b) Определите противоположную матрицу для матрицы ( A ), а затем вычислите ( A+(-A) ). Объясните полученный результат.

(2) Вычитание матриц и проверка свойств

Даны матрицы
\( C=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}. \)
a) Вычислите матрицу ( C-D ).
b) Проверьте, выполняется ли равенство ( C-D=-(D-C) ).

(3) Умножение матрицы на скаляр и дистрибутивность

Дана матрица
\( E=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \)
и скаляры ( k=1 ) и ( m=1 ).
a) Вычислите матрицу ( kE ).
b) Вычислите ( (k+m)E ) и сравните с ( kE+mE ).

(4) Произведение матриц и некоммутативность

Даны матрицы
\( F=\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad G=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}. \)
a) Вычислите произведение ( FG ).
b) Вычислите произведение ( GF ).
c) Сравните результаты и сделайте вывод, является ли умножение матриц коммутативным в данном случае.

(5) Транспонирование и свойства транспонирования

Дана матрица
\( H=\begin{pmatrix} 1 & 6 & 5 \\ 9 & 0 & 2 \end{pmatrix}. \)
a) Найдите транспонированную матрицу ( H^T ).
b) Вычислите ( (H^T)^T ) и сравните с матрицей ( H ).

(6) Дистрибутивность умножения матриц

Даны матрицы
\( A=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, \)
\( C=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}. \)
a) Вычислите ( A(B+C) ).
b) Вычислите ( AB+AC ) и сравните результаты.

(7) Единичная матрица и степени

Дана матрица
\( K=\begin{pmatrix} 7 & 6 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \)
и единичная матрица ( I ) порядка ( n=2 ).
a) Вычислите ( KI ) и ( IK ).
b) Вычислите ( K^2 ) и сравните с ( KK ).

(8) Линейная комбинация матриц

Даны матрицы
\( M=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad N=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}. \)
Для скаляров ( a=3 ) и ( b=2 ):
a) Вычислите ( aM-bN ).
b) Определите матрицу ( X ), такую что выполняется ( X+aN=bM ).

(9) Квадрат матрицы и разность квадратов

Дана матрица
\( L=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}. \)
a) Вычислите ( L^2 ).
b) Вычислите ( (L-I)(L+I) ), где ( I ) — единичная матрица 2-го порядка.

(10) Ассоциативность умножения матриц

Даны матрицы
\( P=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}, \quad Q=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}, \quad R=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}. \)
a) Вычислите ( (PQ)R ).
b) Вычислите ( P(QR) ).
c) Сравните полученные матрицы и сделайте вывод, выполняется ли ассоциативность умножения в данном примере.