(1) Derivadas parciais de um polinómio

Determine as derivadas parciais da função
\( f(x,y)= 1x^2y + 2xy^2 + 4x + 5y + 8 \).
Calcule \( \frac{\partial f}{\partial x} \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(2) Derivadas parciais num ponto

É dada uma função
\( f(x,y)= -1x^2 + -5xy + 1y^2 + 3x + 2y \).
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e os seus valores no ponto \( (x,y)=(-5, 1) \).

(3) Derivadas parciais de uma função de terceiro grau

Determine as derivadas parciais da função
\( f(x,y)= 7x^3 + 3x^2y + 6xy^2 + 1y^3 + 5xy \).
Calcule \( \frac{\partial f}{\partial x} \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(4) Derivada parcial de uma função racional

É dada uma função
\( f(x,y)= \frac{6x^2 + 5y}{3x + 1y} \).
Determine a derivada parcial \( \frac{\partial f}{\partial x} \).

(5) Derivadas parciais de uma função potência

Determine as derivadas parciais da função
\( f(x,y)= 6x^{5}y^{2} + 3xy + 4y \).
Calcule \( \frac{\partial f}{\partial x} \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(6) Derivadas parciais de uma função exponencial

É dada uma função
\( f(x,y)= e^{4x + 2y} + 5xy + 1x \).
Determine as derivadas parciais de primeira ordem.

(7) Derivadas parciais de uma função trigonométrica

Determine as derivadas parciais da função
\( f(x,y)= 5\sin(xy) + 6x\cos(y) + 1y + 7 \).
Calcule \( \frac{\partial f}{\partial x} \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(8) Derivadas parciais de uma função logarítmica

É dada uma função
\( f(x,y)= \ln(9x + 6y) + 3xy + 1x \).
Determine as derivadas parciais de primeira ordem.

(9) Derivadas parciais de segunda ordem

É dada uma função
\( f(x,y)= 2x^2y + 4xy^2 + 1x + 3y \).
Calcule as derivadas parciais de segunda ordem \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \), \( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \) e \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \).

(10) Derivada parcial de uma função composta

É dada uma função
\( f(x,y)= ( 1x + 5y )^{3} + 2xy \).
Determine as derivadas parciais \( \frac{\partial f}{\partial x} \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} \).