Potenzen und Grundformeln

Formel	Beschreibung
\(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\)	Produkt von Potenzen: Wenn die Basen gleich sind, werden die Exponenten addiert.
\(\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\)	Quotient von Potenzen: Wenn die Basen gleich sind, werden die Exponenten subtrahiert.
\((a^n)^m = a^{n \cdot m}\)	Potenz einer Potenz: Ein Exponent wird mit einem anderen multipliziert, wenn er hochgenommen wird.
\(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\)	Produkt von ähnlichen Potenzen: Wenn die Basen multipliziert werden, wird ein gemeinsamer Exponent herausgezogen.
\(\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\)	Quotient von ähnlichen Potenzen: Wenn die Basen dividiert werden, wird ein gemeinsamer Exponent herausgezogen.

(a) Berechne: \( 10^3 \cdot 4^2 \)

(b) Vereinfache den Ausdruck: \( \sqrt{5} \cdot \sqrt[3]{2} \)

(d) Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge 12. Berechne das Volumen und die Oberfläche dieses Würfels.

(e) Vereinfache den Ausdruck: \( \sqrt{7} \cdot \sqrt{4} \)

(f) Bestimme die fehlende Seitenlänge eines Quadrats, wenn die Diagonale 15 ist.

(g) Löse die Gleichung: \( x^3 = 7 \)

(h) Gegeben ist eine Pyramide mit der Grundfläche eines Quadrats mit der Seitenlänge 8 und einer Höhe von 9. Berechne das Volumen der Pyramide.

(i) Bestimme die Wurzel aus 8.

(j) Vereinfache den Ausdruck: \( \frac{25^4}{2^2} \)

(k) Gegeben ist die Funktion \( f(x) = 2x^3 - 1x^2 + 6x - 8 \). Bestimme die Nullstellen dieser Funktion.

(l) Löse die Gleichung: \( \sqrt[3]{x} = 15 \)

(m) Berechne den Wert von \( 6^4 \cdot 9^2 \)

(n) Vereinfache den Ausdruck: \( \frac{\sqrt{4}}{3} \)

(o) Gegeben ist ein Quadrat mit einem Umfang von \(20\). Bestimme die Fläche dieses Quadrats.