(1) Додавання матриць та протилежна матриця

Задано матриці
\( A=\begin{pmatrix} 3 & 10 \\ 9 & 1 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}. \)
a) Обчисліть матрицю ( A+B ).
b) Визначте протилежну матрицю до матриці ( A ) і потім обчисліть ( A+(-A) ). Поясніть отриманий результат.

(2) Віднімання матриць та перевірка властивостей

Задано матриці
\( C=\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}. \)
a) Обчисліть матрицю ( C-D ).
b) Перевірте, чи виконується рівність ( C-D=-(D-C) ).

(3) Множення матриці на скаляр та дистрибутивність

Задано матрицю
\( E=\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \)
та скаляри ( k=3 ) і ( m=1 ).
a) Обчисліть матрицю ( kE ).
b) Обчисліть ( (k+m)E ) і порівняйте з ( kE+mE ).

(4) Добуток матриць та некомутативність

Задано матриці
\( F=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}, \quad G=\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}. \)
a) Обчисліть добуток ( FG ).
b) Обчисліть добуток ( GF ).
c) Порівняйте результати та зробіть висновок, чи є множення матриць комутативним у цьому випадку.

(5) Транспонування та властивості транспонування

Задано матрицю
\( H=\begin{pmatrix} 7 & 4 & 1 \\ 6 & 3 & 8 \end{pmatrix}. \)
a) Визначте транспоновану матрицю ( H^T ).
b) Обчисліть ( (H^T)^T ) і порівняйте з матрицею ( H ).

(6) Дистрибутивність множення матриць

Задано матриці
\( A=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \)
\( C=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}. \)
a) Обчисліть ( A(B+C) ).
b) Обчисліть ( AB+AC ) і порівняйте результати.

(7) Одинична матриця та степені

Задано матрицю
\( K=\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \)
та одиничну матрицю ( I ) порядку ( n=2 ).
a) Обчисліть ( KI ) та ( IK ).
b) Обчисліть ( K^2 ) і порівняйте з ( KK ).

(8) Лінійна комбінація матриць

Задано матриці
\( M=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}, \quad N=\begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}. \)
Для скалярів ( a=5 ) та ( b=4 ):
a) Обчисліть ( aM-bN ).
b) Визначте матрицю ( X ), таку що виконується ( X+aN=bM ).

(9) Квадрат матриці та різниця квадратів

Задано матрицю
\( L=\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}. \)
a) Обчисліть ( L^2 ).
b) Обчисліть ( (L-I)(L+I) ), де ( I ) — одинична матриця 2-го порядку.

(10) Асоціативність множення матриць

Задано матриці
\( P=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad Q=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad R=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}. \)
a) Обчисліть ( (PQ)R ).
b) Обчисліть ( P(QR) ).
c) Порівняйте отримані матриці та зробіть висновок, чи виконується асоціативність множення в цьому прикладі.