$$\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$$

$$\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S}$$

1. Neka je $H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r})$ Hamiltonijan kvantnomehaničkog sustava s centralnim potencijalom $V(r) = -\frac{\alpha}{r}e^{-\mu r}$. Nađite asimptotsko ponašanje radijalne funkcije $R_{nl}(r)$ za $r \to \infty$ i odredite uvjet za vezana stanja u terminima kvantnih brojeva $n$ i $l$.
2. Razmotrite nuklearnu reakciju $\ce{^{235}_{92}U + n -> ^{92}_{36}Kr + ^{141}_{56}Ba + 3n}$. Ako je energija veze po nukleonu za $\ce{^{235}U}$ jednaka $7.59\ \text{MeV}$, za $\ce{^{92}Kr}$ $8.61\ \text{MeV}$, a za $\ce{^{141}Ba}$ $8.34\ \text{MeV}$, izračunajte oslobođenu energiju u ovoj fisiji koristeći formulu $Q = \Delta m c^2$ i odredite koliki postotak mase se pretvara u energiju.
3. Riješite Schrödingerovu jednadžbu za harmonički oscilator u tri dimenzije s Hamiltonijanom $H = \sum_{i=1}^3 \left( \frac{p_i^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega_i^2 x_i^2 \right)$ gdje su $\omega_1 \neq \omega_2 \neq \omega_3$. Nađite energijske nivoe $E_{n_1n_2n_3}$ i odgovarajuće valne funkcije $\psi_{n_1n_2n_3}(x_1,x_2,x_3)$.
4. Izračunajte vjerojatnost tuneliranja alfa-čestice kroz Coulombovu barijeru za nuklid $\ce{^{238}_{92}U}$ koristeći WKB aproksimaciju. Pretpostavite da je potencijal $V(r) = \begin{cases} V_0 & r < R \\ \frac{2(Z-2)e^2}{4\pi\epsilon_0 r} & r \geq R \end{cases}$ gdje je $R = 1.2 \times (238)^{1/3}\ \text{fm}$, a kinetička energija alfa-čestice $E_\alpha = 4.27\ \text{MeV}$.
5. Odredite vlastite vrijednosti i vlastite funkcije operatora ukupnog momenta impulsa $\hat{\mathbf{J}}^2$ i njegove $z$-komponente $\hat{J}_z$ za sustav dvaju nukleona s spinskim kvantnim brojevima $s_1 = s_2 = \frac{1}{2}$ i orbitalnim momentima impulsa $l_1 = 1$, $l_2 = 2$. Koristite Clebsch-Gordanove koeficijente za izračunavanje vektora stanja u bazi ukupnog momenta impulsa $|j,m_j\rangle$.

(1) Kolika je razlika u vremenu ?

4) 假设 \( A = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 1 & 6 \end{bmatrix} \) 和 \( B = \begin{bmatrix} 5 & -0.50 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \)。计算 \( A + B \) 和 \( A - B \)。

5) 计算积分： $$\int_{1}^{4} (5x^2 + 1x + 6) \, dx$$

6) 假设函数 \( f(x) \) 定义为 \( f(x) = x^2 - \sqrt{4}x + \sqrt{5} \)，它描述了一个抛物线的形状。确定常数 \( c \) 的值。

7) 计算两颗氘核融合时释放的能量：

$$^2_1\text{H} + ^2_1\text{H} \rightarrow ^3_2\text{He} + n$$

For Robert \( \frac{1}{4} \)

(a) Berechne: \( \sqrt{4} \times \sqrt{5} \)

(b) Vereinfache den Ausdruck: \( \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6}} + \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} \left(1 + \frac{1}{2} \sin^2(3x) + \frac{\alpha}{\beta}\sqrt{\gamma+\delta} \cdot \frac{\sqrt[3]{\theta^2 + \phi^2}}{\psi + \frac{\omega}{\chi}}\right) \,dx \)

(c) Multipliziere: \( (\sqrt{5} + \sqrt{-0.50}) \times (\sqrt{3} - \sqrt{0}) \)

(d) Dividiere: \( \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{16}} \)

(e) Vereinfache den Ausdruck: \( \begin{equation} x = a_0 + \frac{1}{\displaystyle a_1 + \frac{1}{\displaystyle a_2 + \frac{1}{\displaystyle a_3 + a_4}}} \end{equation} \)

(f) Berechne: \( \frac{\sqrt{100} \times \sqrt{182}}{\sqrt{27}} \)

(g) Multipliziere und vereinfache: \( (\sqrt{10} + \sqrt{12})^2 \)

(h) Dividiere: \( \frac{\sqrt{306}}{\sqrt{9}} - \begin{bmatrix} \int_{0}^{1} e^{2t}\sin(t)\,dt & \frac{\cos^2(3\theta)}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{\pi}{4} & \ln(2) \\ \frac{\sqrt{5}}{\phi} & \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2(x)}{x^2}\,dx & \frac{1}{\sqrt[3]{\alpha + \beta}} & \frac{\gamma^2}{\delta} & \frac{\sqrt{\pi}}{2} \\ \frac{\theta}{2\pi} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \int_{0}^{1} \frac{e^{2t}}{\sqrt{t}}\,dt & \frac{\omega}{\chi} & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} \\ \ln(\sqrt{\pi}) & \frac{\sqrt[4]{\pi^3}}{\sqrt{\alpha}} & \frac{\sqrt{\beta}}{\sqrt[3]{\gamma}} & \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(\phi)\,d\phi & \frac{\sqrt[5]{\delta}}{\sqrt[6]{\varepsilon}} \end{bmatrix} \)

(i) Berechne: \( \sqrt{100} \div \sqrt{2} \)

(j) \( \mathcal{L}_{\mathcal{T}}(\vec{\lambda}) = \sum_{\mathbf{x},\mathbf{s}\in\mathcal{T}} \log P(\mathbf{x}|\mathbf{S}) - \sum_{i=1}^m \frac{\lambda_i^2}{2\sigma^2} \)

___ sati i ___ minuta

___ sati i ___ minuta

___ sati i ___ minuta

___ sati i ___ minuta