(1) Suma y producto de las raíces

Para la ecuación cuadrática
\( x^2 - 2x + 8 = 0 \)
determine la suma y el producto de sus raíces utilizando las fórmulas de Viète y, a continuación, verifique si ambas raíces pueden ser números naturales.

(2) Construcción de una ecuación a partir de raíces dadas

Las raíces de una ecuación cuadrática son
\( x_1 = 1 \) y \( x_2 = 5 \).
Construya una ecuación cuadrática con coeficiente principal 1 que tenga estas raíces y escríbala en forma estándar.

(3) Raíz desconocida

Una raíz de la ecuación
\( x^2 - 10x + 11 = 0 \)
es igual a \( 9 \). Determine la otra raíz y verifique la solución aplicando las fórmulas de Viète.

(4) Determinación de un parámetro

¿Para qué valor del parámetro \( m \) la ecuación
\( x^2 - (m + 3)x + m\cdot 2 = 0 \)
tiene raíces cuya suma es igual a \( 1 \) y cuyo producto es igual a \( 8 \)?

(5) Ecuación cuadrática con raíces recíprocas

Determine el valor del número \( p \) de modo que la ecuación
\( x^2 - 7x + p = 0 \)
tenga raíces que sean números recíprocos. Después de esto, calcule las propias raíces.

(6) Ecuación a partir de la suma de los cuadrados de las raíces

Las raíces de una ecuación cuadrática satisfacen las condiciones
\( x_1 + x_2 = 7 \) y \( x_1^2 + x_2^2 = 13 \).
Determine el producto de las raíces y, a continuación, construya la ecuación cuadrática correspondiente con coeficiente principal 1.

(7) Comparación de las raíces sin calcular el discriminante

Considere la ecuación
\( x^2 - 11x + 18 = 0 \).
Usando solo las fórmulas de Viète, determine si ambas raíces pueden ser positivas y menores que el número \( 6 \).

(8) Raíces enteras

Determine todos los valores del número \( q \) para los cuales la ecuación
\( x^2 - 12x + q = 0 \)
tiene dos raíces enteras distintas. Escriba todos los posibles pares de raíces.

(9) Ecuación cuyas raíces están desplazadas por el mismo número

Las raíces de cierta ecuación cuadrática son los números
\( 3 + -2 \) y \( -4 + -2 \).
Construya una ecuación cuadrática con coeficiente principal 1 y calcule la suma y el producto de sus raíces.

(10) Expresión con las raíces

Si \( x_1 \) y \( x_2 \) son las raíces de la ecuación
\( x^2 - 9x + 10 = 0 \),
calcule el valor de la expresión
\( x_1^3 + x_2^3 \)
sin resolver directamente la ecuación, usando solo las fórmulas de Viète.

(11) Condición sobre los cuadrados de las soluciones

En la ecuación
\( x^2 - (1 + m)x + m = 0 \)
determine el número real \( m \) sabiendo que sus soluciones \( x_1, x_2 \) satisfacen la igualdad
\( x_1^2 + x_2^2 = 10 \).

(12) Determinar los coeficientes

Determine los coeficientes \( p \) y \( q \) de la ecuación cuadrática
\( x^2 + px + q = 0 \)
de modo que sus soluciones satisfagan
\( x_1 = 3 \) y \( x_2 = 4 \).
Aplique las fórmulas de Viète para determinar los coeficientes.

(13) Simplificar la fracción

\( \dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - 3x - 10} \).
Factorice el numerador y el denominador utilizando métodos conocidos para expresiones cuadráticas y, a continuación, escriba la forma simplificada final de la fracción.

(14) Valor de una expresión con las raíces

Si \( x_1 \) y \( x_2 \) son las soluciones de la ecuación
\( x^2 - 4x - 1 = 0 \),
determine el valor de la expresión
\( \dfrac{x_1^2}{x_2} + \dfrac{x_2^2}{x_1} \)
utilizando las fórmulas de Viète sin calcular directamente las soluciones de la ecuación.

(15) Determinación de un parámetro a partir de una raíz

En la ecuación
\( x^2 - 9x + q = 0 \)
una solución es \( x_1 = 7 \), y la otra solución es \( x_2 \).
Determine el valor del parámetro real \( q \) utilizando las fórmulas de Viète.