(1) Логарифмическое уравнение с условием

Решите уравнение с учётом области определения
\( \log_{4}(x - 2) + \log_{4}(x - 5) = 6 \).
Запишите решение в виде множества действительных чисел.

(2) Экспоненциальное уравнение с параметрами

Решите уравнение
\( 4^{x+3} = 2 \cdot 4^{2x} \).
Выразите результат в простейшем виде.

(3) Обратная функция

Задана функция
\( f(x) = \log_{5}(x - 2) \).
Определите обратную функцию и её область определения.

(4) Уравнение с изменением основания

Решите уравнение, используя формулу изменения основания
\( \log_{3} x = \frac{\log x}{\log 6} + 2 \).
Запишите решение в экспоненциальной форме.

(5) Экспоненциальное неравенство со сдвигом

Решите неравенство
\( 3^{x - 2} \le 5^{x + 4} \).
Представьте решение в виде интервала.

(6) Комбинация логарифмов

Упростите выражение
\( \frac{\log_{5}(x^{3}) + \log_{5}(x^{4})}{\log_{5} x} \).
Запишите результат без логарифмов, где это возможно.

(7) Модель роста и логарифмы

Стоимость инвестиции описывается функцией
\( A(t) = 4000 \cdot e^{4500 t} \).
Определите время, когда стоимость достигнет \( 1000 \).

(8) Пересечение функций

Определите точки пересечения функций
\( f(x) = 3^x \) i \( g(x) = \log_{3}(x + 4) \).
Найдите решение аналитически или путём оценки.

(9) Сложное логарифмическое уравнение

Решите уравнение
\( \large \log_{2}(x^2 - 4x + 3) = 5 \).
Примите во внимание условия определения.

(10) Трансформация графика

Задана функция
\( f(x) = 4^x \).
Определите уравнение функции, которая получается в результате отражения относительно оси \( y \), затем сдвига на \( 2 \) вправо и на \( 3 \) вниз.

(11) Уравнение с двойной подстановкой

Решите уравнение
\( 3^{2x} - ( 2 + 4 ) \cdot 3^x + 2 \cdot 4 = 0 \).
Введите подстановку \( t = 3^x \), решите квадратное уравнение относительно \( t \), а затем вернитесь к переменной \( x \).

(12) Логарифмическое уравнение с рациональным выражением

Решите уравнение с полной проверкой условий определения
\( \log_{5} \left( \frac{x - 4}{x - 6} \right) = \log_{5} ( 3 ) - \log_{5} ( 2 ) \).
Запишите решение в виде множества действительных чисел и отдельно укажите исключённые значения.

(13) Параметрическое экспоненциальное уравнение

Определите все действительные значения параметра \( m \), при которых уравнение имеет ровно одно действительное решение
\( 4^x + 2 \cdot 4^{-x} = m \).
Затем для полученных значений параметра определите соответствующее решение уравнения.

(14) Система логарифмических и экспоненциальных связей

Решите систему уравнений
\( y = 5^x \), \( \log_{5}(y) + x = 2 \), \( y > 0 \).
Запишите решение в виде упорядоченной пары \( (x,y) \).

(15) Доказательно-проблемная задача с функцией

Задана функция
\( f(x) = \log_{6}(x + 3) - \log_{6}(5x - 2) \).
Определите область определения функции, затем уравнение \( f(x) = 0 \) и исследуйте, при каких значениях \( x \) выполняется \( f(x) > 0 \).
Запишите вывод в виде объединения интервалов.