(1) Збир и производ корена

За квадратну једначину
\( x^2 - 8x + 2 = 0 \)
одредите збир и производ њених корена користећи Вијетове формуле, а затим проверите да ли оба корена могу бити природни бројеви.

(2) Конструкција једначине из датих корена

Корени квадратне једначине су
\( x_1 = -4 \) и \( x_2 = 3 \).
Конструишите квадратну једначину са водећим коефицијентом 1 која има ове корене и напишите је у стандардном облику.

(3) Непознати корен

Један корен једначине
\( x^2 - 18x + 10 = 0 \)
једнак је \( 5 \). Одредите други корен и проверите решење применом Вијетових формула.

(4) Одређивање параметра

За коју вредност параметра \( m \) једначина
\( x^2 - (m + 9)x + m\cdot 4 = 0 \)
има корене чији је збир једнак \( 5 \) и чији је производ једнак \( 7 \)?

(5) Квадратна једначина са реципрочним коренима

Одредите вредност броја \( p \) тако да једначина
\( x^2 - 9x + p = 0 \)
има корене који су међусобно реципрочни. Након тога израчунајте саме корене.

(6) Једначина из збира квадрата корена

Корени квадратне једначине задовољавају услове
\( x_1 + x_2 = 13 \) и \( x_1^2 + x_2^2 = 7 \).
Одредите производ корена, а затим конструишите одговарајућу квадратну једначину са водећим коефицијентом 1.

(7) Поређење корена без рачунања дискриминанте

Размотрите једначину
\( x^2 - 14x + 18 = 0 \).
Користећи само Вијетове формуле, одредите да ли оба корена могу бити позитивна и мања од броја \( 9 \).

(8) Целобројни корени

Одредите све вредности броја \( q \) за које једначина
\( x^2 - 12x + q = 0 \)
има два различита целобројна корена. Напишите све могуће парове корена.

(9) Једначина чији су корени померани за исти број

Корени одређене квадратне једначине су бројеви
\( 4 + 1 \) и \( -1 + 1 \).
Конструишите квадратну једначину са водећим коефицијентом 1 и израчунајте збир и производ њених корена.

(10) Израз са коренима

Ако су \( x_1 \) и \( x_2 \) корени једначине
\( x^2 - 8x + 19 = 0 \),
израчунајте вредност израза
\( x_1^3 + x_2^3 \)
без директног решавања једначине, користећи само Вијетове формуле.

(11) Услов о квадратима решења

У једначини
\( x^2 - (1 + m)x + m = 0 \)
одредите реалан број \( m \) знајући да њена решења \( x_1, x_2 \) задовољавају једнакост
\( x_1^2 + x_2^2 = 10 \).

(12) Одређивање коефицијената

Одредите коефицијенте \( p \) и \( q \) квадратне једначине
\( x^2 + px + q = 0 \)
тако да њена решења задовољавају
\( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 3 \).
Примените Вијетове формуле за одређивање коефицијената.

(13) Поједностављење разломка

\( \dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - 3x - 10} \).
Раставите бројилац и именилац на факторе користећи познате методе за квадратне изразе, а затим напишите коначни поједностављени облик разломка.

(14) Вредност израза са коренима

Ако су \( x_1 \) и \( x_2 \) решења једначине
\( x^2 - 5x - 1 = 0 \),
одредите вредност израза
\( \dfrac{x_1^2}{x_2} + \dfrac{x_2^2}{x_1} \)
користећи Вијетове формуле без директног израчунавања решења једначине.

(15) Одређивање параметра из једног корена

У једначини
\( x^2 - 10x + q = 0 \)
једно решење је \( x_1 = 8 \), а друго решење је \( x_2 \).
Одредите вредност реалног параметра \( q \) користећи Вијетове формуле.