(1) Gegeben sind zwei Vektoren (\vec{a} = 3\vec{i} - 8\vec{j}) und (\vec{b} = -4\vec{i} + 6\vec{j}). Bestimme die Koordinaten des Vektors (\vec{c}), wenn gilt:

$$ \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} $$

Rješenje zapiši kao uređeni par (x, y).

(2) Berechne die Linearkombination der Vektoren. Gegeben sind die Vektoren (\vec{u} = ( 4, -1 )) und (\vec{v} = ( -2, 7 )). Bestimme den Vektor (\vec{w}) nach der Formel:

$$ \vec{w} = 5 \cdot \vec{u} - 2 \cdot \vec{v} $$

(3) Berechne die Länge (Modul) des resultierenden Vektors (\vec{z} = \vec{a} - \vec{b}), wenn die Koordinaten der Vektoren in der Tabelle angegeben sind:

Napomena: Duljina vektora \(\vec{v}(x, y)\) računa se formulom \( |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \).

(4) Die Punkte (A( 5, 5 )) und (B( 7, 11 )) definieren den Vektor (\vec{AB}). Punkt (C) hat die Koordinaten (( 10, 1 )). Bestimme die Koordinaten des Vektors (\vec{d}), der die Summe aus dem Vektor (\vec{AB}) und dem Ortsvektor des Punktes (C) ((\vec{r_C})) ist.

$$ \vec{d} = \vec{AB} + \vec{r_C} $$

(5) Löse die Vektorgleichung und bestimme den unbekannten Vektor (\vec{x}). Gegeben sind die Vektoren (\vec{m} = ( 18, -4 )) und (\vec{n} = ( 6, 10 )).

$$ 2\vec{x} + \vec{n} = \vec{m} $$

(6) Auf einen Körper wirken zwei Kräfte, (\vec{F_1}) und (\vec{F_2}), im rechten Winkel (entlang der x- und y-Achse). Berechne den Betrag (Magnitude) der resultierenden Kraft (\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}).

(7) Gegeben sind die Vektoren (\vec{p} = (x, 6)) und (\vec{q} = ( 4, -2 )). Wenn die Summe dieser Vektoren (\vec{s} = \vec{p} + \vec{q}) gleich dem Vektor (( 9, y )) ist, bestimme die unbekannten Werte (x) und (y).

(8) Ein Boot überquert einen Fluss. Seine Geschwindigkeit relativ zum Wasser beträgt (\vec{v_c} = ( 4, 2 )) m/s, während der Fluss mit einer Geschwindigkeit von (\vec{v_r} = ( 1, -1.10 )) m/s fließt. Wie groß ist die tatsächliche Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Ufer ((\vec{v_u} = \vec{v_c} + \vec{v_r}))?

Rezultat izrazi kao vektor u koordinatnom sustavu.

(9) Überprüfe das Assoziativgesetz der Vektoraddition. Berechne die linke Seite der Gleichung für die gegebenen Vektoren:

\(\vec{a} = (3, 2)\), \(\vec{b} = (-3, 5)\), \(\vec{c} = (5, -1)\)

$$ \vec{S} = (\vec{a} + \vec{b}) - \vec{c} $$

(10) Bestimme den Umfang des Dreiecks mit den Eckpunkten (A(0,0)), (B(6, 0)) und (C(0, 8)) unter Verwendung von Vektoraddition und -subtraktion zur Bestimmung der Seitenlängen.

Uputa: Stranice su vektori \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\) i \(\vec{CA}\). Izračunaj njihove duljine i zbroji ih.