(١) المشتقات الجزئية لمتعددة الحدود

أوجد المشتقات الجزئية للدالة
\( f(x,y)= 5x^2y + 2xy^2 + 8x + 3y + 9 \).
احسب \( \frac{\partial f}{\partial x} \) و \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(٢) المشتقات الجزئية عند نقطة

دالة مُعطاة
\( f(x,y)= -3x^2 + -2xy + 5y^2 + 3x + 1y \).
احسب المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى وقيمها عند النقطة \( (x,y)=(-2, 5) \).

(٣) المشتقات الجزئية لدالة من الدرجة الثالثة

أوجد المشتقات الجزئية للدالة
\( f(x,y)= 3x^3 + 2x^2y + 7xy^2 + 1y^3 + 5xy \).
احسب \( \frac{\partial f}{\partial x} \) و \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(٤) المشتقة الجزئية لدالة كسرية

دالة مُعطاة
\( f(x,y)= \frac{3x^2 + 5y}{4x + 7y} \).
أوجد المشتقة الجزئية \( \frac{\partial f}{\partial x} \).

(٥) المشتقات الجزئية لدالة القوى

أوجد المشتقات الجزئية للدالة
\( f(x,y)= 1x^{5}y^{2} + 3xy + 4y \).
احسب \( \frac{\partial f}{\partial x} \) و \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(٦) المشتقات الجزئية للدالة الأسية

دالة مُعطاة
\( f(x,y)= e^{4x + 2y} + 1xy + 5x \).
أوجد المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى.

(٧) المشتقات الجزئية لدالة مثلثية

أوجد المشتقات الجزئية للدالة
\( f(x,y)= 1\sin(xy) + 3x\cos(y) + 6y + 2 \).
احسب \( \frac{\partial f}{\partial x} \) و \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(٨) المشتقات الجزئية لدالة لوغاريتمية

دالة مُعطاة
\( f(x,y)= \ln(9x + 7y) + 5xy + 4x \).
أوجد المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى.

(٩) المشتقات الجزئية من الرتبة الثانية

دالة مُعطاة
\( f(x,y)= 3x^2y + 4xy^2 + 1x + 2y \).
احسب المشتقات الجزئية الثانية \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \)، \( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \) و \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \).

(١٠) المشتقة الجزئية لدالة مركبة

دالة مُعطاة
\( f(x,y)= ( 5x + 4y )^{1} + 3xy \).
أوجد المشتقات الجزئية \( \frac{\partial f}{\partial x} \) و \( \frac{\partial f}{\partial y} \).