(1) Сумма и произведение корней

Для квадратного уравнения
\( x^2 - 10x + 6 = 0 \)
определите сумму и произведение его корней, используя формулы Виета, а затем проверьте, могут ли оба корня быть натуральными числами.

(2) Построение уравнения по заданным корням

Корни квадратного уравнения равны
\( x_1 = -1 \) и \( x_2 = -5 \).
Составьте квадратное уравнение со старшим коэффициентом 1, имеющее эти корни, и запишите его в стандартном виде.

(3) Неизвестный корень

Один из корней уравнения
\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
равен \( 8 \). Найдите другой корень и проверьте решение, применив формулы Виета.

(4) Определение параметра

При каком значении параметра \( m \) уравнение
\( x^2 - (m + 1)x + m\cdot 5 = 0 \)
имеет корни, сумма которых равна \( 9 \) а произведение равно \( 3 \)?

(5) Квадратное уравнение с взаимно обратными корнями

Определите значение числа \( p \) так, чтобы уравнение
\( x^2 - 4x + p = 0 \)
имело корни, являющиеся взаимно обратными числами. После этого вычислите сами корни.

(6) Уравнение по сумме квадратов корней

Корни квадратного уравнения удовлетворяют условиям
\( x_1 + x_2 = 9 \) и \( x_1^2 + x_2^2 = 5 \).
Найдите произведение корней, а затем составьте соответствующее квадратное уравнение со старшим коэффициентом 1.

(7) Сравнение корней без вычисления дискриминанта

Рассмотрим уравнение
\( x^2 - 15x + 17 = 0 \).
Используя только формулы Виета, определите, могут ли оба корня быть положительными и меньшими числа \( 7 \).

(8) Целочисленные корни

Найдите все значения числа \( q \) при которых уравнение
\( x^2 - 9x + q = 0 \)
имеет два различных целых корня. Запишите все возможные пары корней.

(9) Уравнение, корни которого сдвинуты на одно и то же число

Корни некоторого квадратного уравнения — это числа
\( -3 + -1 \) и \( 3 + -1 \).
Составьте квадратное уравнение со старшим коэффициентом 1 и вычислите сумму и произведение его корней.

(10) Выражение с корнями

Если \( x_1 \) и \( x_2 \) являются корнями уравнения
\( x^2 - 13x + 8 = 0 \),
вычислите значение выражения
\( x_1^3 + x_2^3 \)
не решая уравнение напрямую, используя только формулы Виета.

(11) Условие на квадраты решений

В уравнении
\( x^2 - (1 + m)x + m = 0 \)
найдите действительное число \( m \) зная, что его решения \( x_1, x_2 \) удовлетворяют равенству
\( x_1^2 + x_2^2 = 10 \).

(12) Определение коэффициентов

Найдите коэффициенты \( p \) и \( q \) квадратного уравнения
\( x^2 + px + q = 0 \)
так, чтобы его решения удовлетворяли условиям
\( x_1 = 4 \) и \( x_2 = 1 \).
Примените формулы Виета для определения коэффициентов.

(13) Упрощение дроби

\( \dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - 3x - 10} \).
Разложите числитель и знаменатель на множители, используя известные методы для квадратных выражений, а затем запишите окончательный упрощенный вид дроби.

(14) Значение выражения с корнями

Если \( x_1 \) и \( x_2 \) являются решениями уравнения
\( x^2 - 4x - 1 = 0 \),
найдите значение выражения
\( \dfrac{x_1^2}{x_2} + \dfrac{x_2^2}{x_1} \)
используя формулы Виета, не вычисляя напрямую решения уравнения.

(15) Определение параметра по одному корню

В уравнении
\( x^2 - 13x + q = 0 \)
одно решение равно \( x_1 = 6 \), а другое решение равно \( x_2 \).
Найдите значение действительного параметра \( q \) используя формулы Виета.