(1) Polinomio y aplicación de la regla de potencia

Determine la integral indefinida de la función
\( f(x) = 4 x^{2} - 1 x^{3} + 4 \).
Aplique la linealidad de la integral y la regla de potencia para integrar. Escriba el resultado en la forma más simple con la constante de integración.

(2) Modelo de velocidad del movimiento

La velocidad de un cuerpo en el instante \(x\) está dada por la función
\( v(x) = 3 x^{1} + 4 x \).
Determine la función de posición \(s(x)\) sabiendo que \(s'(x)=v(x)\). Exprese el resultado con la constante de integración e interprete su significado.

(3) Crecimiento exponencial

Calcule la integral indefinida de la función
\( f(x) = 6 e^{7 x} + 2 \).
Simplifique el resultado y explique cómo se integra una función de la forma \(e^{ax}\).

(4) Combinación trigonométrica

Determine la integral indefinida de la expresión
\( \int \left( 4 \sin(3 x) - 1 \cos(2 x) \right) dx \).
Aplique las fórmulas conocidas para las integrales de seno y coseno y escriba el resultado con la constante de integración.

(5) Estructura logarítmica

Calcule la integral indefinida
\( \int \left( \frac{1}{x} + 5 x^{4} \right) dx \).
Exprese el resultado usando el logaritmo natural donde sea necesario e incluya la constante de integración.

(6) Sustitución – potencia de una expresión lineal

Determine la integral indefinida
\( \int ( 2 x + 5 )^{4} dx \).
Aplique una sustitución adecuada y presente claramente el resultado final con la constante de integración.

(7) Raíces y potencias

Calcule la integral indefinida de la función
\( f(x) = 2 \sqrt{x} + 4 x^{3} - 1 \).
Antes de integrar escriba la raíz en forma de potencia y luego aplique la regla de potencia.

(8) Interpretación física de la fuerza

La fuerza que actúa sobre un cuerpo está descrita por la función
\( F(x) = 1 x^{2} \).
Si el trabajo se define como la integral indefinida de la fuerza respecto al desplazamiento, determine la función de trabajo \(W(x)\). Exprese el resultado con la constante de integración.

(9) Expresión fraccionaria con varios términos

Determine la integral indefinida
\( \int \left( \frac{2}{x} + 5 x^{1} + 3 e^x \right) dx \).
Aplique la linealidad de la integral y simplifique la expresión final con la constante de integración.

(10) Tangente y término lineal

Calcule la integral indefinida de la expresión
\( \int \left( 3 \tan(1 x) + 2 x \right) dx \).
Exprese el resultado usando el logaritmo natural donde sea necesario y añada la constante de integración.