(1) Сабирање матрица и супротна матрица

Задате су матрице
\( A=\begin{pmatrix} 7 & 9 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 10 & 7 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}. \)
а) Израчунај матрицу ( A+B ).
б) Одреди супротну матрицу матрице ( A ) и затим израчунај ( A+(-A) ). Објасни добијени резултат.

(2) Одузимање матрица и провера својстава

Задате су матрице
\( C=\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -1 & -5 \end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}. \)
а) Израчунај матрицу ( C-D ).
б) Провери да ли важи једнакост ( C-D=-(D-C) ).

(3) Множење матрице скаларом и дистрибутивност

Задана је матрица
\( E=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \)
и скалари ( k=1 ) и ( m=3 ).
а) Израчунај матрицу ( kE ).
б) Израчунај ( (k+m)E ) и упореди са ( kE+mE ).

(4) Производ матрица и некомутативност

Задате су матрице
\( F=\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}, \quad G=\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}. \)
а) Израчунај производ ( FG ).
б) Израчунај производ ( GF ).
в) Упореди резултате и закључи да ли је множење матрица комутативно у овом случају.

(5) Транспоновање и својства транспоновања

Задана је матрица
\( H=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 6 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \)
а) Одреди транспоновану матрицу ( H^T ).
б) Израчунај ( (H^T)^T ) и упореди са матрицом ( H ).

(6) Дистрибутивност множења матрица

Задате су матрице
\( A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \)
\( C=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}. \)
а) Израчунај ( A(B+C) ).
б) Израчунај ( AB+AC ) и упореди резултате.

(7) Јединична матрица и степени

Задана је матрица
\( K=\begin{pmatrix} 8 & 7 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} \)
и јединична матрица ( I ) реда ( n=2 ).
а) Израчунај ( KI ) и ( IK ).
б) Израчунај ( K^2 ) и упореди са ( KK ).

(8) Линеарна комбинација матрица

Задате су матрице
\( M=\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad N=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}. \)
За скаларе ( a=2 ) и ( b=3 ):
а) Израчунај ( aM-bN ).
б) Одреди матрицу ( X ) такву да важи ( X+aN=bM ).

(9) Квадрат матрице и разлика квадрата

Задана је матрица
\( L=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}. \)
а) Израчунај ( L^2 ).
б) Израчунај ( (L-I)(L+I) ), где је ( I ) јединична матрица реда 2.

(10) Асоцијативност множења матрица

Задате су матрице
\( P=\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad Q=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad R=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}. \)
а) Израчунај ( (PQ)R ).
б) Израчунај ( P(QR) ).
в) Упореди добијене матрице и закључи да ли важи асоцијативност множења у овом примеру.