(1) Rast bakterija

Bakterijska kultura počinje s \(100\) bakterija i raste za \(20\) % na sat.

a) Postavi eksponencijalnu funkciju \(N(t)=N_0\cdot a^t\).
b) Izračunaj broj bakterija nakon \(20\) sati i nakon \(6\) sati.
c) Nakon koliko sati će se broj bakterija udvostručiti?

(2) Radioaktivni raspad

Radioaktivna tvar ima vrijeme poluraspada od \(5\) godina. Na početku je prisutno \(450\) mg tvari.

a) Zadaj funkciju raspada \(m(t)=m_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_H}}\).
b) Koliko mg tvari ostaje nakon \(12\) godina i nakon \(17\) godina?
c) Nakon koliko godina ostat će samo \(30\) mg?

(3) Složeni kamatni račun

Lea ulaže \(3500\) € uz godišnju kamatnu stopu od \(5\) % na štedni račun. Kamate se pripisuju jednom godišnje.

a) Postavi funkciju \(K(n)=K_0\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^n\).
b) Koliko novca Lea ima na računu nakon \(13\) godina i nakon \(19\) godina?
c) Nakon koliko godina će se kapital udvostručiti?

(4) Hlađenje – Newtonov zakon hlađenja

Šalica kave u početku ima temperaturu \(80\) °C. Sobna temperatura iznosi \(25\) °C. Hlađenje slijedi zakon \(T(t)=T_R+(T_0-T_R)\cdot e^{-k\cdot t}\) s \(k=0.12\), pri čemu se \(t\) mjeri u minutama.

a) Postavi konkretnu funkciju \(T(t)\).
b) Koju temperaturu kava ima nakon \(9\) minuta i nakon \(15\) minuta?
c) Nakon koliko minuta kava doseže temperaturu od \(45\) °C?

(5) Razgradnja lijeka

Domagoj uzima \(250\) mg lijeka. Tijelo razgrađuje \(25\) % djelatne tvari na sat.

a) Postavi funkciju \(M(t)=M_0\cdot\left(1-\frac{r}{100}\right)^t\).
b) Koliko mg djelatne tvari ostaje u tijelu nakon \(11\) sati i nakon \(14\) sati?
c) Nakon koliko sati razgrađena je polovica djelatne tvari?

(6) Gubitak vrijednosti automobila

Lukaku kupuje automobil za \(27500\) €. Automobil svake godine gubi \(10\) % svoje vrijednosti.

a) Postavi funkciju \(W(t)=W_0\cdot\left(1-\frac{v}{100}\right)^t\).
b) Koliko automobil još vrijedi nakon \(2\) godina i nakon \(5\) godina?
c) Nakon koliko godina automobil vrijedi samo \(8000\) €?

(7) Rast stanovništva

Grad trenutačno ima \(30000\) stanovnika. Stanovništvo eksponencijalno raste za \(4.50\) % godišnje.

a) Postavi funkciju \(P(t)=P_0\cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)^t\).
b) Koliko će stanovnika grad imati nakon \(3\) godina i nakon \(16\) godina?
c) Nakon koliko godina broj stanovnika će se udvostručiti?

(8) Datiranje ugljikom-14

Arheološki nalaz sadrži samo \(40\) % izvornog sadržaja ugljika-14; drugi uzorak sadrži \(70\) %. Vrijeme poluraspada ugljika-14 iznosi \(5730\) godina.

a) Postavi funkciju raspada \(A(t)=A_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5730}}\).
b) Koliko su stara oba uzorka?
c) Koliki bi postotak ugljika-14 ostao nakon \(3000\) godina?

(9) Epidemija

Na početku epidemije zaraženo je \(10\) osoba. Broj zaraženih svakodnevno raste faktorom \(2.25\).

a) Postavi funkciju \(I(t)=I_0\cdot a^t\).
b) Koliko je osoba zaraženo nakon \(18\) dana i nakon \(4\) dana?
c) Nakon koliko dana će prvi put biti zaraženo više od \(400\) osoba?

(10) Inflacija

Luka ima \(400\) € na računu. Stopa inflacije iznosi \(8\) % godišnje. Kupovna moć novca eksponencijalno se smanjuje.

a) Postavi funkciju \(K(t)=K_0\cdot\left(1-\frac{i}{100}\right)^t\).
b) Kolika je kupovna moć novca nakon \(10\) godina i nakon \(8\) godina?
c) Nakon koliko godina kupovna moć padne na polovicu početne vrijednosti?