(1) Полином и применение правила степени

Найдите неопределённый интеграл функции
\( f(x) = 5 x^{3} - 6 x^{1} + 5 \).
Примените линейность интеграла и правило интегрирования степеней. Запишите результат в простейшем виде с константой интегрирования.

(2) Модель скорости движения

Скорость тела в момент \(x\) задана функцией
\( v(x) = 3 x^{5} + 4 x \).
Найдите функцию пути \(s(x)\), если \(s'(x)=v(x)\). Выразите результат с константой интегрирования и объясните её значение.

(3) Экспоненциальный рост

Вычислите неопределённый интеграл функции
\( f(x) = 5 e^{2 x} + 6 \).
Упростите результат и объясните, как интегрируется функция вида \(e^{ax}\).

(4) Тригонометрическая комбинация

Найдите неопределённый интеграл выражения
\( \int \left( 4 \sin(3 x) - 2 \cos(1 x) \right) dx \).
Примените известные формулы для интегралов синуса и косинуса и запишите результат с константой интегрирования.

(5) Логарифмическая структура

Вычислите неопределённый интеграл
\( \int \left( \frac{4}{x} + 6 x^{2} \right) dx \).
Выразите результат через натуральный логарифм, где это необходимо, и укажите константу интегрирования.

(6) Подстановка – степень линейного выражения

Найдите неопределённый интеграл
\( \int ( 2 x + 5 )^{4} dx \).
Примените подходящую подстановку и чётко представьте конечный результат с константой интегрирования.

(7) Корни и степени

Вычислите неопределённый интеграл функции
\( f(x) = 1 \sqrt{x} + 4 x^{2} - 3 \).
Перед интегрированием запишите корень в виде степени и затем примените правило степеней.

(8) Физическая интерпретация силы

Сила, действующая на тело, описывается функцией
\( F(x) = 1 x^{5} \).
Если работа определяется как неопределённый интеграл силы по перемещению, найдите функцию работы \(W(x)\). Запишите результат с константой интегрирования.

(9) Дробное выражение с несколькими членами

Найдите неопределённый интеграл
\( \int \left( \frac{1}{x} + 4 x^{3} + 2 e^x \right) dx \).
Примените линейность интеграла и упростите конечное выражение с константой интегрирования.

(10) Тангенс и линейный член

Вычислите неопределённый интеграл выражения
\( \int \left( 1 \tan(3 x) + 2 x \right) dx \).
Выразите результат через натуральный логарифм при необходимости и добавьте константу интегрирования.