(1) Matrizenaddition und die entgegengesetzte Matrix

Gegeben sind die Matrizen
\( A=\begin{pmatrix} 10 & 3 \\ 7 & 2 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}. \)
a) Berechne die Matrix ( A+B ).
b) Bestimme die entgegengesetzte Matrix der Matrix ( A ) und berechne dann ( A+(-A) ). Erkläre das erhaltene Ergebnis.

(2) Matrizensubtraktion und Überprüfung von Eigenschaften

Gegeben sind die Matrizen
\( C=\begin{pmatrix} 4 & -4 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}. \)
a) Berechne die Matrix ( C-D ).
b) Überprüfe, ob die Gleichung ( C-D=-(D-C) ) gilt.

(3) Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar und Distributivgesetz

Gegeben ist die Matrix
\( E=\begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)
und die Skalare ( k=2 ) und ( m=-2 ).
a) Berechne die Matrix ( kE ).
b) Berechne ( (k+m)E ) und vergleiche es mit ( kE+mE ).

(4) Matrizenprodukt und Nicht-Kommutativität

Gegeben sind die Matrizen
\( F=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}, \quad G=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}. \)
a) Berechne das Produkt ( FG ).
b) Berechne das Produkt ( GF ).
c) Vergleiche die Ergebnisse und entscheide, ob die Matrizenmultiplikation in diesem Fall kommutativ ist.

(5) Transponierung und Eigenschaften der Transponierung

Gegeben ist die Matrix
\( H=\begin{pmatrix} 8 & 2 & 5 \\ 6 & 4 & 3 \end{pmatrix}. \)
a) Bestimme die transponierte Matrix ( H^T ).
b) Berechne ( (H^T)^T ) und vergleiche es mit der Matrix ( H ).

(6) Distributivgesetz der Matrizenmultiplikation

Gegeben sind die Matrizen
\( A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}, \)
\( C=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}. \)
a) Berechne ( A(B+C) ).
b) Berechne ( AB+AC ) und vergleiche die Ergebnisse.

(7) Einheitsmatrix und Potenzen

Gegeben ist die Matrix
\( K=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} \)
und die Einheitsmatrix ( I ) der Ordnung ( n=2 ).
a) Berechne ( KI ) und ( IK ).
b) Berechne ( K^2 ) und vergleiche es mit ( KK ).

(8) Linearkombination von Matrizen

Gegeben sind die Matrizen
\( M=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}, \quad N=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 6 & 1 \end{pmatrix}. \)
Für die Skalare ( a=2 ) und ( b=4 ):
a) Berechne ( aM-bN ).
b) Bestimme die Matrix ( X ), so dass ( X+aN=bM ) gilt.

(9) Quadrat einer Matrix und Differenz von Quadraten

Gegeben ist die Matrix
\( L=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}. \)
a) Berechne ( L^2 ).
b) Berechne ( (L-I)(L+I) ), wobei ( I ) die Einheitsmatrix der Ordnung 2 ist.

(10) Assoziativgesetz der Matrizenmultiplikation

Gegeben sind die Matrizen
\( P=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad Q=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad R=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}. \)
a) Berechne ( (PQ)R ).
b) Berechne ( P(QR) ).
c) Vergleiche die erhaltenen Matrizen und entscheide, ob das Assoziativgesetz der Multiplikation in diesem Beispiel gilt.