(1) Equazione logaritmica con condizione

Risolvi l'equazione con la condizione di esistenza
\( \log_{6}(x - 4) + \log_{6}(x - 3) = 5 \).
Scrivi la soluzione come insieme di numeri reali.

(2) Equazione esponenziale con parametri

Risolvi l'equazione
\( 5^{x+3} = 2 \cdot 5^{2x} \).
Esprimi il resultado nella forma più semplice.

(3) Funzione inversa

Data la funzione
\( f(x) = \log_{4}(x - 5) \).
Determina la funzione inversa e il suo dominio.

(4) Equazione con cambiamento di base

Risolvi l'equazione usando la formula per il cambiamento di base
\( \log_{3} x = \frac{\log x}{\log 2} + 4 \).
Scrivi la soluzione in forma esponenziale.

(5) Disequazione esponenziale con traslazione

Risolvi la disequazione
\( 5^{x - 3} \le 2^{x + 4} \).
Rappresenta la soluzione come intervallo.

(6) Combinazione di logaritmi

Semplifica l'espressione
\( \frac{\log_{4}(x^{3}) + \log_{4}(x^{2})}{\log_{4} x} \).
Scrivi il risultato senza logaritmi dove possibile.

(7) Modello di crescita e logaritmi

Il valore dell'investimento è descritto dalla funzione
\( A(t) = 2000 \cdot e^{3500 t} \).
Determina il tempo in cui il valore raggiunge \( 3000 \).

(8) Intersezione di funzioni

Determina i punti di intersezione delle funzioni
\( f(x) = 3^x \) i \( g(x) = \log_{3}(x + 4) \).
Trova la soluzione analiticamente o per stima.

(9) Equazione logaritmica complessa

Risolvi l'equazione
\( \large \log_{2}(x^2 - 4x + 3) = 5 \).
Prendi in considerazione le condizioni di esistenza.

(10) Trasformazione del grafico

Data la funzione
\( f(x) = 3^x \).
Determina l'equazione della funzione che si ottiene per riflessione rispetto all'asse \( y \), poi traslazione di \( 2 \) a destra e \( 4 \) verso il basso.

(11) Equazione con doppia sostituzione

Risolvi l'equazione
\( 2^{2x} - ( 3 + 5 ) \cdot 2^x + 3 \cdot 5 = 0 \).
Introduci la sostituzione \( t = 2^x \), risolvi l'equazione di secondo grado in \( t \), e poi torna all'incognita \( x \).

(12) Equazione logaritmica con espressione razionale

Risolvi l'equazione con un esame completo delle condizioni di esistenza
\( \log_{4} \left( \frac{x - 3}{x - 6} \right) = \log_{4} ( 2 ) - \log_{4} ( 5 ) \).
Scrivi la soluzione come insieme di numeri reali e indica separatamente i valori esclusi.

(13) Equazione esponenziale parametrica

Determina tutti i valori reali del parametro \( m \) per i quali l'equazione ha esattamente una soluzione reale
\( 4^x + 3 \cdot 4^{-x} = m \).
Successivamente, per i valori ottenuti del parametro, determina la relativa soluzione dell'equazione.

(14) Sistema di legami logaritmici ed esponenziali

Risolvi il sistema di equazioni
\( y = 5^x \), \( \log_{5}(y) + x = 3 \), \( y > 0 \).
Scrivi la soluzione come coppia ordinata \( (x,y) \).

(15) Problema dimostrativo con funzione

Data la funzione
\( f(x) = \log_{6}(x + 5) - \log_{6}(2x - 3) \).
Determina il dominio della funzione, poi l'equazione \( f(x) = 0 \), e indaga per quali valori di \( x \) vale \( f(x) > 0 \).
Scrivi la conclusione come unione di intervalli.