(1) Se dan dos vectores (\vec{a} = 6\vec{i} - 4\vec{j}) y (\vec{b} = -5\vec{i} + 9\vec{j}). Determina las coordenadas del vector (\vec{c}) si se cumple:

$$ \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} $$

Rješenje zapiši kao uređeni par (x, y).

(2) Calcula la combinación lineal de los vectores. Se dan los vectores (\vec{u} = ( 4, -3 )) y (\vec{v} = ( -2, 6 )). Determina el vector (\vec{w}) según la fórmula:

$$ \vec{w} = 5 \cdot \vec{u} - 4 \cdot \vec{v} $$

(3) Calcula la longitud (módulo) del vector resultante (\vec{z} = \vec{a} - \vec{b}), si las coordenadas de los vectores se dan en la tabla:

Napomena: Duljina vektora \(\vec{v}(x, y)\) računa se formulom \( |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \).

(4) Los puntos (A( 4, 6 )) y (B( 9, 7 )) definen el vector (\vec{AB}). El punto (C) tiene coordenadas (( 13, 5 )). Determina las coordenadas del vector (\vec{d}) que es la suma del vector (\vec{AB}) y el radio-vector del punto (C) ((\vec{r_C})).

$$ \vec{d} = \vec{AB} + \vec{r_C} $$

(5) Resuelve la ecuación vectorial y determina el vector desconocido (\vec{x}). Se dan los vectores (\vec{m} = ( 10, -4 )) y (\vec{n} = ( 4, 12 )).

$$ 2\vec{x} + \vec{n} = \vec{m} $$

(6) Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas, (\vec{F_1}) y (\vec{F_2}), en ángulo recto (a lo largo de los ejes x e y). Calcula la magnitud de la fuerza resultante (\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}).

(7) Se dan los vectores (\vec{p} = (x, 4)) y (\vec{q} = ( 4, -1 )). Si la suma de estos vectores (\vec{s} = \vec{p} + \vec{q}) es igual al vector (( 10, y )), determina los valores desconocidos (x) e (y).

(8) Un bote cruza un río. Su velocidad respecto al agua es (\vec{v_c} = ( 4, 4.50 )) m/s, mientras que el río fluye a una velocidad de (\vec{v_r} = ( 3, -1.30 )) m/s. ¿Cuál es la velocidad real del bote respecto a la orilla ((\vec{v_u} = \vec{v_c} + \vec{v_r}))?

Rezultat izrazi kao vektor u koordinatnom sustavu.

(9) Verifica la propiedad asociativa de la suma de vectores. Calcula el lado izquierdo de la igualdad para los vectores dados:

\(\vec{a} = (1, 2)\), \(\vec{b} = (-3, 4)\), \(\vec{c} = (6, -1)\)

$$ \vec{S} = (\vec{a} + \vec{b}) - \vec{c} $$

(10) Determina el perímetro del triángulo cuyos vértices son los puntos (A(0,0)), (B(9, 0)) y (C(0, 12)) utilizando la suma y resta de vectores para determinar las longitudes de los lados.

Uputa: Stranice su vektori \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\) i \(\vec{CA}\). Izračunaj njihove duljine i zbroji ih.